1.8.C

Gegeben

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Symbole:

\[l, F, 0 < \varphi < 90^\circ\]

Berechnen Sie die Kraft \(A\), die vom Lager A nach links auf den Balken wirkt, mit dem Prinzip der virtuellen Leistung.

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Lösung auf einer Seite

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a) Vektoren

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Vektoren \(\boldsymbol r_A\) und \(\boldsymbol r_F\), also:

\[\begin{split}\boldsymbol r_A: \quad \begin{bmatrix} x_A\\ y_A\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dots \\ l \cos \varphi \\ \end{bmatrix} \quad,\quad \boldsymbol r_F: \quad \begin{bmatrix} x_F\\ y_F\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

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\[\begin{split}\begin{bmatrix} x_A\\ y_A \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ l c_\varphi \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} x_F\\ y_F \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac12 l s_\varphi \\ \tfrac12 l c_\varphi \end{bmatrix}\end{split}\]

b) Abstände

Berechnen Sie die Beträge dieser Vektoren, also die Abstände zwischen M und A bzw. M und F:

\[\lVert\boldsymbol r_A\rVert = r_A = \dots \quad,\quad \lVert\boldsymbol r_F\rVert = r_F = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}\lVert\boldsymbol r_A\rVert &= r_A \\ &= \sqrt{ {x_A}^2 + {y_A}^2} \\ &= \sqrt{0^2 + l^2 c^2_\varphi} \\ &= l c_\varphi \\ \lVert\boldsymbol r_F\rVert &= r_F \\ &= \sqrt{ {x_F}^2 + {y_F}^2} \\ &= \sqrt{ \left( \tfrac12 l \right)^2 s^2_\varphi+ \left(\tfrac12 l \right)^2 c^2_\varphi} \\ &= \tfrac12 l\end{split}\]

c) Virtuelle Geschwindigkeiten

Berechnen Sie die Beträge der Vektoren der virtuellen Geschwindigkeiten abhängig von der virtuellen Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), also:

\[v_A = r_A \omega = \dots \quad,\quad v_F = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}v_A &= r_A \omega\\ &= l c_\varphi \omega \\ v_F &= r_F \omega\\ &= \tfrac12 l \omega\end{split}\]

d) (x,y)-Komponenten

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Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Vektoren der virtuellen Geschwindigkeiten, also:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Ax}\\ v_{Ay} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - v_A\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dots\\ \dots \end{bmatrix} \omega \quad,\quad \begin{bmatrix} v_{Fx}\\ v_{Fy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dots\\ \dots \end{bmatrix} \omega\end{split}\]

Lösung

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\[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Ax}\\ v_{Ay} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - v_A\\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - l c_\varphi\\ 0 \end{bmatrix} \omega \\ \begin{bmatrix} v_{Fx}\\ v_{Fy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - v_F c_\varphi\\ v_F s_\varphi \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - \tfrac12 l c_\varphi\\ \tfrac12 l s_\varphi \end{bmatrix} \omega\end{split}\]

Details

  • Für \(\omega > 0\) ist \(v_F > 0\). Die virtuelle Leistung von F, die sich dann ergibt, ist in der Skizze als Pfeil dargestellt.

  • Wie groß ist der Anteil dieses Geschwindigkeitsvektors in \(x\)-Richtung? Das muss ich mich fragen, um die \(x\)-Komponente dieses Vektors zu ermitteln.

  • Ich sehe, dass diese Komponente negativ ist. Und ich sehe, dass der Winkel \(\varphi\) zwischen \(v_F\) und einer Horizontalen auftaucht.

  • Damit ergeben sich - nach Einsetzen von \(v_F=\tfrac12 l \omega\) - die Anteile:

    \[\begin{split}\begin{bmatrix} v_{Fx}\\ v_{Fy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \tfrac12 l c_\varphi\\ \tfrac12 l s_\varphi \end{bmatrix} \omega\end{split}\]

e) Prinzip

Verwenden Sie:

\[\begin{split}\boldsymbol A: \quad \begin{bmatrix} A_x\\ A_y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A \\ \dots \\ \end{bmatrix} \quad,\quad \boldsymbol F: \quad \begin{bmatrix} F_x\\ F_y\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

und das Prinzip der virtuellen Leistung:

\[\boldsymbol A\cdot \boldsymbol v_A + \boldsymbol F\cdot \boldsymbol v_F = 0 \quad,\quad A_x v_{Ax} + A_y v_{Ay} + \dots = 0\]

und berechnen Sie damit die Kraft \(A\) abhängig von den gegebenen Symbolen. Zeigen Sie, dass:

\[A = \tfrac12 F \tan\varphi\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} A_x\\ A_y\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} A \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} F_x\\ F_y\\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ F \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Prinzip der virtuellen Leistung:

\[\begin{split}A_x v_{Ax} + A_y v_{Ay} + F_x v_{Fx} + F_y v_{Fy} &= 0 \\ A v_{Ax} + F v_{Fy} &= 0 \\ - A l c_\varphi \omega + F \tfrac12 l s_\varphi \omega &= 0 \\ A &= \tfrac12 F \tan\varphi\end{split}\]

f) Ergebnis-Kontrolle

Prüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie \(A\) auf einem zweiten Weg berechnen. Nämlich indem Sie die Lagerreaktionen und die Kraft \(A\) mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnen.

Lösung

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Details

  • Die Wand oben übt eine Kraft \(A\) auf die Leiter aus, die im Gleichgewicht steht zur Kraft \(A\), die unten gegen die Leiter drückt.

  • Der Boden unten übt eine Kraft \(F\) auf die Leiter aus, die im Gleichgewicht steht zur Kraft \(F\), die in der Mitte auf die Leiter wirkt.

Zusammenfassung

  • Ich brauche die virtuellen Geschwindigkeiten dort, wo die äußeren Lasten \(A\) und \(F\) wirken - um das Prinzip der virtuellen Leistung anwenden zu können.

  • Wenn ein starrer Körper ich in der Ebene bewegt und dreht: Dann gibt es immer einen Punkt, um den der Körper momentan eine reine Drehung ausführt. Dieser Punkt heißt Momentanpol. Und ich erkenne, dass dieser Punkt mein Punkt M ist.

  • Wenn ich den Momentanpol kenne, kann ich die virtuellen Geschwindigkeiten bei A und F berechnen. Und zwar abhängig von der virtuellen Winkelgeschwindigkeit \(\omega.\)

  • Um sich anschaulich vorstellen zu können, was der Momentanpol ist und was für Richtungen die Geschwindigkeiten haben, kann man ein Blatt Papier vor sich auf den Tisch legen und einen Punkt festhalten, indem man an dieser Stelle mit dem Finger draufdrückt. Und dann das Blatt um diesen Punkt drehen…