1.9.A

Gegeben

Symbole:

\[g, m_1, m_2, \mu_0, r_1, r_2, F\]

a) Schnittgrößen

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie alle Seilkräfte und die bei \(m_1\) und \(m_2\) auftretenden Haftkräfte.

Lösung

Seilkräfte und Haftkräfte werden in Freischnitten sichtbar gemacht:

Sieben Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der sieben Unbekannten \(S_1, S_2, S_3, S_4, S_5, H_1, H_2\): Freischnitte 1 und 2:

\[\begin{split}S_5 &= F \\ r_1 S_5 &= r_2 S_1\end{split}\]

Freischnitte 3 und 4:

\[\begin{split}S_1 &= S_2 + S_3 \\ S_2 &= S_3 \\ S_3 &= H_1 + H_2\end{split}\]

Freischnitte 5 und 6:

\[\begin{split}S_4 &= H_1 \\ S_2 &= S_4\end{split}\]

Lösung:

\[\begin{split}H_{1} &= \tfrac{F r_{1}}{2 r_{2}} \\ H_{2} &= 0 \\ S_{1} &= \tfrac{F r_{1}}{r_{2}} \\ S_{2} &= \tfrac{F r_{1}}{2 r_{2}} \\ S_{3} &= \tfrac{F r_{1}}{2 r_{2}} \\ S_{4} &= \tfrac{F r_{1}}{2 r_{2}} \\ S_{5} &= F\end{split}\]

b) Kritische Kraft F

Für die gegebenen Symbole: Wie groß darf \(F\) höchstens sein, sodass das System in Ruhe bleibt.

Lösung

Das System gerät in Bewegung, wenn sich \(m_1\) relativ zu \(m_2\) bewegt. Dies ist der Fall, wenn die größtmögliche (Kontakt-)Haftkraft überschritten ist. Die an der Kontaktfläche zwischen \(m_1\) und \(m_2\) auftretende größtmögliche Haftkraft ist:

\[H_{1 \mathsf{max}}= \mu_0 N_1\]

Berechnung von \(N_1\) am Freischnitt 5 liefert:

\[N_1 = m_1 g\]

Die tatsächlich auftretende Haftkraft muss kleiner oder gleich sein dieser maximalen Haftkraft:

\[\begin{split}H_{1} = \tfrac{F r_{1}}{2 r_{2}} &\le H_{1 \mathsf{max}}= \mu_0 m_1 g \\ F &\le \tfrac{\mu_0 2 r_{2} m_1 g}{r_{1}}\end{split}\]

c) Ergebnis für gegebene Größen

Berechnen Sie diese kritische Kraft für folgende Größen:

\[\begin{split}g &= 10 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \\ m_1 &= 1 \,\mathrm{kg} \\ \mu_0 &= \tfrac{3}{10} \\ r_1 &= 1 \,\mathrm{m} \\ r_2 &= 2 \,\mathrm{m}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen liefert:

\[F\le 12\, \mathrm{N}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
# ---

g, m1, mu0 = symbols("g, m1, mu0", positive=True)
r1, r2 = symbols("r1, r2", positive=True)
F = symbols("F")

sub_list=[
    ( g   , 10 *m/s**2 ),
    ( m1  , 1 *kg      ),
    ( mu0 , S(3)/10    ),
    ( r1  , 1 *m       ),
    ( r2  , 2 *m       ),
    ( F   , 1 *N       ),
    ]

S1, S2, S3, S4, S5, H1, H2 = symbols("S1, S2, S3, S4, S5, H1, H2")

# Equilibrium conditions:
eq1 = Eq(S5, F)
eq2 = Eq(r1*S5, r2*S1)
eq3 = Eq(S1, S2 + S3)
eq4 = Eq(S2, S3)
eq5 = Eq(S3, H1 + H2)
eq6 = Eq(S4, H1)
eq7 = Eq(S2, S4)

eqns = [eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7]

# Solve:
unknowns = [S1, S2, S3, S4, S5, H1, H2]
sol = solve(eqns, unknowns)
pprint(sol)

H1_max = mu0*m1*g

pprint("\nF:")
eq = Eq(F*r1/2/r2, mu0*m1*g)
sol = solve(eq,F)
pprint(sol)
tmp = sol[0]
pprint("\nF / N:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp = tmp.expand()
tmp /= kg*m/s**2
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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