1.9.B

Gegeben

../../../_images/1.9.B.png

Symbole:

\[F>0, b, h, \mu_0\]

Berechnen Sie, welche Werte \(x\ge 0\) im statischen Gleichgewicht annehmen kann, sodass die Leiter also nicht abrutscht. Untersuchen Sie zwei Fälle:

Fall a)

  • Der Boden bei A ist rau (Haftkoeffizient \(\mu_0\)) und

  • die Wand bei B ist glatt (keine Reibung).

Lösung

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Es gilt \(H_B=0\). Es gibt drei Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der drei Unbekannten \(N_A, N_B, H_A\):

\begin{align*} \definecolor{myred}{rgb}{0.941, 0.067, 0.067} \uparrow \!&=\, \downarrow & N_A &= F \\ \leftarrow \!&=\, \rightarrow & H_A &= N_B \\ \circlearrowright^{\color{myred}\circ} \!&=\, \circlearrowleft^{\color{myred}\circ} & h N_B &= x F \end{align*}

Lösung:

\[\begin{split}N_A &= F \\ N_B &= F \tfrac x h \\ H_A &= F \tfrac x h\end{split}\]

Haftungsbedingung bei A:

\begin{align} \left| H_A \right| \leq \mu_0 N_A \end{align}

Einsetzen der Lagerreaktionen in die Haftungsbedingung liefert:

\[\begin{split}F \tfrac xh & \leq \mu_0 F \\ x & \leq\mu_0 h\end{split}\]

Fall b)

  • Die Wand bei B ist rau und

  • der Boden bei A ist glatt.

Lösung

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Lösungsweg 1

Es gilt \(H_A=0\). Und \(N_B\) kann aus einer einzigen Gleichung berechnet werden:

\begin{align} \label{eq-1.9.B-2} \rightarrow \qquad 0 = N_B \end{align}

Die Haftungsbedingung bei B:

\[\left|H_B\right| \leq \mu_0 N_B\]

Einsetzen der Lagerreaktionen in die Haftungsbedingung liefert:

\[H_B = 0\]

Gleichgewichtsbedingung mit \(N_B = H_B = 0\) liefert \(x\):

\[\begin{split}\definecolor{myred}{rgb}{0.941, 0.067, 0.067} \circlearrowleft^{\color{myred}\circ} \qquad 0 &= F x \\ x &= 0\end{split}\]

Lösungsweg 2

Es gilt \(H_A=0\). Drei Gleichgewichtsbedingungen zur Berechnung der drei Unbekannten \(N_A, N_B, H_B\):

\[\begin{split}\rightarrow \qquad 0 &= N_B \\ \downarrow \qquad 0 &= F-N_A-H_B\\ \circlearrowright^{\color{blue}\circ} \qquad 0 &= F(b-x)-N_A b\end{split}\]

Lösung:

\[\begin{split}N_B &= 0 \\ N_A &= F \tfrac{b-x}{b} \\ H_B &= F\tfrac{x}{b}\end{split}\]

Haftungsbedingung bei B:

\[\left| H_B \right| \leq \mu_0 N_B\]

Einsetzen der Lagerreaktionen liefert:

\[\begin{split}\left| F\tfrac xb \right| & \leq 0\\ x &= 0\end{split}\]