1.9.D

Gegeben

Symbole:

\[a, b, r, F, \mu\]

Eine Kreis-Scheibe ist mit einem Seil umschlungen und dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\).

Sei:

\(S_1\): Seilkraft im horizontalen Teil des Seils.
\(S_2\): Seilkraft im vertikalen Teil des Seils.

a) Drehung links herum

Sei \(\omega>0\), d.h. die Scheibe dreht sich links herum. Berechnen Sie das Bremsmoment \(M^\circlearrowright\) (positiv gezählt rechts herum), welches vom Seil auf die Scheibe übertragen wird, wenn \(F\) wirkt. Zeigen Sie, dass:

\[M^\circlearrowright = r F \tfrac{a+b}{a}\left(e^{\mu \alpha}-1\right)\]

mit \(\alpha = \tfrac32 \pi = 270^\circ\).

Lösung

Es gilt \(S_2 > S_1\). Gleichgewichtsbedingungen:

\[\begin{split}\definecolor{myred}{rgb}{0.941, 0.067, 0.067} S_2 &= S_1 e^{\mu \alpha}\\ \circlearrowleft^{\color{myred}\circ} = \circlearrowright^{\color{myred}\circ} \qquad (a+b) F &= a S_1 \\\end{split}\]

Das Bremsmoment \(M^\circlearrowright\), welches rechts herum vom Seil auf die Kreisscheibe wirkt, ist:

\[M^\circlearrowright = r (S_2 - S_1) > 0\]

Berechnen von \(S_1, S_2\) und Einsetzen in \(M^\circlearrowright\) ergibt die Behauptung.

b) Drehung rechts herum

Sei \(\omega<0\), d.h. die Scheibe dreht sich rechts herum. Berechnen Sie das Bremsmoment \(M^\circlearrowleft\) (positiv gezählt links herum), welches vom Seil auf die Scheibe übertragen wird, wenn \(F\) wirkt. Zeigen Sie, dass:

\[M^\circlearrowleft = r F \tfrac{a+b}{a}\left(1 - e^{-\mu \alpha}\right)\]

Lösung

Es gilt \(S_1 > S_2\). Gleichgewichtsbedingungen:

\[\begin{split}\definecolor{myred}{rgb}{0.941, 0.067, 0.067} S_1 &= S_2 e^{\mu \alpha} \\ \circlearrowleft^{\color{myred}\circ} = \circlearrowright^{\color{myred}\circ} \qquad (a+b) F &= a S_1\end{split}\]

Das Bremsmoment \(M^\circlearrowleft\), welches links herum vom Seil auf die Kreisscheibe wirkt, ist:

\[M^\circlearrowleft = r (S_1 - S_2) > 0\]

Berechnen von \(S_1, S_2\) und Einsetzen in \(M^\circlearrowleft\) ergibt die Behauptung.

c) Brems-Momente

Berechnen Sie \(M^\circlearrowright\) und \(M^\circlearrowleft\) in \(\mathrm{Nm}\) (Newtonmeter) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) für die Größen:

\[\begin{split}(a, b, r ) &= (0{,}2\,\mathrm{m}, 0{,}75 \,\mathrm{m}, 0{,}4\,\mathrm{m}) \\ F&= 30\,\mathrm{N} \\ \mu&=0{,}3 \\ \\ M^\circlearrowright &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}\ldots \,\mathrm{Nm} \\ M^\circlearrowleft &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}\ldots \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen führt auf:

\[\begin{split}M^\circlearrowright &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}177{,}3 \,\mathrm{Nm} \\ M^\circlearrowleft &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}43{,}1 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

a, b, r, F, mu = symbols("a, b, r, F, mu")
SA, SB, Mr, Ml = symbols("SA, SB, Mr, Ml")

sub_list=[
    ( a, 0.2  *m),
    ( b, 0.75 *m),
    ( r, 0.4  *m),
    ( F, 30   *N),
    (mu, 0.3    ),
]

alpha = 3*pi/2

pprint("\nMr:")
eq1 = Eq( SB, SA*exp(mu*alpha) )
eq2 = Eq( Mr, r*(SB - SA) )
eq3 = Eq( (a+b)*F, a*SA )

sol = solve([eq1, eq2, eq3], [SA, SB, Mr])
tmp = sol[Mr]
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\nMr / (Nm):")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= (N*m)
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nMl:")
eq1 = Eq( SA, SB*exp(mu*alpha) )
eq2 = Eq( Ml, r*(SA - SB) )
eq3 = Eq( (a+b)*F, a*SA )

sol = solve([eq1, eq2, eq3], [SA, SB, Ml])
tmp = sol[Ml]
tmp = tmp.simplify()
tmp = tmp.collect(F*r*(a+b)/a)
pprint(tmp)

pprint("\nMl / (Nm):")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= (N*m)
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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