1.9.E

Gegeben

Symbole:

\[m, g, \mu\]

Eine Masse gleitet an einem Seil auf einer Ebene.
Das Seil gleitet auf einer unbeweglichen Kreis-Scheibe.

a) Bewegung von m nach unten

Berechnen Sie die Kraft \(F=F^\swarrow\), sodass die Masse mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) nach unten gleitet.

Lösung

Reibgesetze und Gleichgewichtsbedingungen:

\[\begin{split}R &= \mu N \\ S_2 &= S_1 e^{\mu \tfrac 3 4 \pi} \\ F^\swarrow &= S_1 \\ N &= m g c \\ S_2 + R &= m g c\end{split}\]

mit der Abkürzung \(c := \cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt 2}{2}\).

Dies sind 5 Gleichungen für die 5 Unbekannten \(F^\swarrow, N, R, S_1, S_2\). Lösung für \(F^\swarrow\):

\[F^\swarrow = m g c (1-\mu) e^{-\mu \tfrac 3 4 \pi}\]

b) Bewegung von m nach oben

Berechnen Sie die Kraft \(F=F^\nearrow\), sodass die Masse mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) nach oben gleitet.

Lösung

Die Reibkräfte wirken nun in die entgegengesetzte Richtung und ihre Zählrichtungen werden darum in die entgegengesetzte Richtung festgelegt. Und darum bleiben die Reibgesetze unverändert. Mit den Gleichgewichtsbedingungen erhält man:

\[\begin{split}R &= \mu N \\ S_2 &= S_1 e^{\mu \tfrac 3 4 \pi} \\ F^\nearrow &= S_2 \\ N &= m g c \\ S_1 - R &= m g c\end{split}\]

Lösung für \(F^\swarrow\):

\[F^\nearrow = m g c (1+\mu) e^{\mu \tfrac 3 4 \pi}\]

c) Ergebnisse für gegebene Größen

Berechnen Sie \(F^\swarrow\) und \(F^\nearrow\) in \(\mathrm{N}\) (Newton) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) für die Größen:

\[\begin{split}m &= 100 \,\mathrm{kg} \\ g &= 10 \,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s}^2} \\ \mu &= 0{,}15\end{split}\]

Lösung

Einsetzen liefert:

\[\begin{split}F^\swarrow &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}422{,}1 \,\mathrm{N} \\ F^\nearrow &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}1157{,}9 \,\mathrm{N}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

mass, g, mu = symbols("mass g,mu")

# SI-units
sub_list = [
    ( mass, 100       *kg      ),
    ( g,     10       *m/s**2  ),
    ( mu,  S(15)/100           ),
    ]

c = cos(45 *deg)
mg = mass*g

expo = mu*3/4*pi

pprint("\nF-down / N:")
factor = mg * c * (1-mu)
tmp = factor * exp(-expo)
printout(tmp, unit=N, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nF-up / N:")
factor = mg * c * (1+mu)
tmp = factor * exp(expo)
printout(tmp, unit=N, prec=1, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.