2.1.A

Gegeben

Elastischer Stab: Verwendete Symbole siehe Kinematik 2D

Gegebene Knoten-Positionen
Knoten	Position	(x,y)	Bedeutung
1	\(\boldsymbol x_1\)	\((2, 1)\,\mathrm{m}\)	Anfang d. undeformierten Stabs
2	\(\boldsymbol x_2\)	\((6, 4)\,\mathrm{m}\)	Ende d. undeformierten Stabs
1‘	\(\boldsymbol x_{1'}\)	\((1, \tfrac 3 2)\,\mathrm{m}\)	Anfang d. deformierten Stabs
2‘	\(\boldsymbol x_{2'}\)	\((4, 6)\,\mathrm{m}\)	Ende d. deformierten Stabs

Berechnete Vektoren zwischen Knoten
Vektor	Farbe	von	nach	Bedeutung
\(\boldsymbol r = \boldsymbol x_2 - \boldsymbol x_1\)	blau	1	2	Vektor entlang undef. Stab
\(\boldsymbol r' = \boldsymbol x_{2'} - \boldsymbol x_{1'}\)	rot	1‘	2‘	Vektor entlang def. Stab
\(\boldsymbol u_1 = \boldsymbol x_{1'} - \boldsymbol x_{1}\)	grün	1	1‘	Verschiebung d. Stab-Anfangs
\(\boldsymbol u_2 = \boldsymbol x_{2'} - \boldsymbol x_{2}\)	grün	2	2‘	Verschiebung d. Stab-Endes

Berechnen Sie die tatsächliche Stabverlängerung \(\Delta \ell\) und die genäherte Stabverlängerung \(\Delta l\).

a)

Tatsächliche Verlängerung \(\Delta \ell\) und genäherte Verlängerung \(\Delta l.\) Details siehe M.2.J und Kinematik 2D.

Lösung

\begin{align*} \boldsymbol r &= \boldsymbol x_2 - \boldsymbol x_1 \\ \begin{bmatrix}r_x \\ r_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}6\\4\end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ \\ \boldsymbol r' &= \boldsymbol x_{2'} - \boldsymbol x_{1'} \\ \begin{bmatrix}r'_x\\r'_y\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}4\\6\end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix}1\\\tfrac{3}{2}\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix}3\\ \tfrac{9}{2} \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ \\ \boldsymbol u_1 &= \boldsymbol x_{1'} - \boldsymbol x_{1} \\ \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 \\ \tfrac 3 2 \end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix}-1\\\tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ \\ \boldsymbol u_2 &= \boldsymbol x_{2'} - \boldsymbol x_{2} \\ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix} 6 \\ 4 \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ \\ l &= \sqrt{r_x^2 + r_y^2} \\ &= \sqrt{4^2 + 3^2}\, \mathrm{m} \\ &= 5 \,\mathrm{m} \\ \\ l' &= \sqrt{{r'_x}^2 + {r'_y}^2} \\ &= \sqrt{3^2 + \left({\tfrac 9 2}\right)^2} \, \mathrm{m}\\ &= \sqrt{\tfrac{36 + 81}{4}} \, \mathrm{m} \\ &= \tfrac{\sqrt{117}}{2} \, \mathrm{m} \\ &= \tfrac{3\sqrt{13}}{2} \, \mathrm{m}\\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 5{,}41 \,\mathrm{m} \\ \\ \boldsymbol e &= \tfrac 1 l \boldsymbol r \\ \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \end{bmatrix} &= \tfrac 1 l \begin{bmatrix} r_x \\ r_y \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{1}{5\,\mathrm{m}} \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac 4 5 \\ \tfrac 3 5 \end{bmatrix} \\ \\ \boldsymbol{\Delta u} &= \boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1 \\ \begin{bmatrix} \Delta u_{x} \\ \Delta u_{y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}-2\\2\end{bmatrix} \mathrm{m} - \begin{bmatrix}-1\\\tfrac{1}{2}\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= \begin{bmatrix}-1\\\frac{3}{2}\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ \\ \Delta\ell &= l' - l\\ &=\left\{ \tfrac{3\sqrt{13}}{2} -5 \right\}\, \mathrm{m} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}41\,\mathrm{m} \\ \\ \Delta l &= \boldsymbol e \cdot \boldsymbol{\Delta u} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac 4 5 & \tfrac 3 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-1\\\frac{3}{2}\end{bmatrix} \mathrm{m} \\ &= - \tfrac{8}{10}\mathrm{m} + \tfrac{9}{10}\mathrm{m}\\ &= 0{,}10\,\mathrm{m}\\ \end{align*}

b)

Knoten	Position
1	\((2, 1)\,\mathrm{m}\)
2	\((6, 4)\,\mathrm{m}\)
1‘	\((1, 1)\,\mathrm{m}\)
2‘	\((6, 5)\,\mathrm{m}\)

Lösung

\begin{align*} \Delta\ell\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 1{,}403\,\mathrm{m} \\ \Delta l\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 1{,}400\,\mathrm{m} \end{align*}

c)

Knoten	Position
1	\((8, 0)\, \mathrm{m}\)
2	\((0, 2)\, \mathrm{m}\)
1‘	\((9, 2)\, \mathrm{m}\)
2‘	\((3, \tfrac 7 2)\, \mathrm{m}\)

Lösung

\begin{align*} \Delta\ell\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -2{,}06\,\mathrm{m} \\ \Delta l\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -2{,}06\,\mathrm{m} \end{align*}

Web-App

Web-App verwenden

Materialwerte etc. oben anpassen.
Knoten anfassen und verschieben.
Ergebnis unten ablesen.
Zur Frage, in welchen Fällen die genäherte Stabverlängerung eine gute Näherung für die tatsächliche Stabverlängerung ist, siehe hier.

E / GPa	A / mm²	α / (10⁻⁶ K⁻¹)	ΔT / K

l / m	Δℓ / m	Δl / m	S / kN

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, atan

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp


def print_in_m(x):
    """
    prints in m (meters)
    """
    tmp = x / m
    tmp = iso_round(tmp, prec)
    pprint(tmp)
    return

# Example:
# ex = "ex1"
# ex = "ex4"
ex = "02_06"

prec = 2
prec = 8

# Point positions:
if ex=="ex1":
    P1  = [2,1]
    P2  = [6,4]
    P1p = [1,1 + half]
    P2p = [4,6]
elif ex=="ex2":
    P1  = [2,1]
    P2  = [6,4]
    P1p = [1,1]
    P2p = [6,5]
elif ex=="ex3":
    P1  = [8,0]
    P2  = [0,2]
    P1p = [9,2]
    P2p = [3,3 + half]
elif ex=="ex4":
    P1  = [ 0, 0]
    P2  = [ 4, 2]
    P1p = [-2, 1]
    P2p = [ 4, 7]
elif ex=="02_06":
    P1  = [ 0,  0]
    P2  = [ 8,  2]
    P1p = [-1, -1]
    P2p = [ 7,  3]

P1, P2   = Matrix(P1)  *m,  Matrix(P2) *m
P1p, P2p = Matrix(P1p) *m, Matrix(P2p) *m

pprint("\n\nKinematics:")
pprint("\nr / m:")
r = P2 - P1
print_in_m(r)

pprint("\nr' / m:")
rp = P2p - P1p
print_in_m(rp)

pprint("\n|r| / m:")
rabs = r.norm()
print_in_m(rabs)

pprint("\n|r'| / m:")
rpabs = rp.norm()
print_in_m(rpabs)

pprint("\nφ / deg:")
rx, ry = r[0], r[1]
tmp = ry/(rabs + rx)
tmp = tmp.simplify()
phi = 2*atan(tmp)
tmp = phi / deg
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)

pprint("\ne:")
c, s = cos(phi), sin(phi)
e = Matrix([c, s])
tmp = e
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)

pprint("\nu1 / m:")
u1 = P1p - P1
print_in_m(u1)

pprint("\nu2:")
u2 = P2p - P2
print_in_m(u2)

pprint("\nΔu:")
du = u2 - u1
print_in_m(du)

pprint("\nΔℓ / m:")
dell = rpabs - rabs
dell = dell.simplify()
print_in_m(dell)

pprint("\nΔl / m:")
dl = e.dot(du)
dl = dl.simplify()
print_in_m(dl)

# pprint("\nElasticity:")
# E = 200 * GPa
# A = 20 *mm**2
# alpha = 12.e-6 / K
# # dT = 100 * K
# dT = 0 * K

# pprint("\nS / kN:")
# S = E*A*( dl/rabs - alpha *dT)
# tmp = S
# tmp /= kN
# tmp = iso_round(tmp,"0.1")
# pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.