2.1.C

Gegeben

Symbole:

\[F, l, \beta, A, E\]

Drei Stäbe mit Querschnittsfläche $A$. Stab 1 und 2 haben die Länge $l$.
Stab 3 hat die Länge $\tfrac l \beta$.

Zeigen Sie, dass für die 3 Stabkräfte gilt:

\[\begin{split}S_{1} &= \tfrac{F \left(2 \beta + 1\right)}{3 \beta + 1} \\ S_{2} &= \tfrac{\sqrt{2} F \beta}{3 \beta + 1} \\ S_{3} &= - \tfrac{F \beta}{3 \beta + 1}\end{split}\]

Berechnen Sie dazu die unvollständige Lösung mit 2·k + 2·s - r = 8 Gleichungen und Unbekannten. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Gleichgewicht

Machen Sie einen Knotenschnitt am Knoten 1. Geben Sie zwei Gleichgewichtsbedingungen an.

Lösung

b) Kinematik

Einheitsvektoren und Stabverlängerungen: Geben Sie die (genäherten) Stabverlängerungen $\Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3$ an abhängig von den Verschiebungsvektor-Komponenten $(u_{1x}, u_{1y})$. Verwenden Sie die Einheitsvektoren in Stabrichtung $\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3$.

Lösung

\begin{align} \Delta l_1 &= \boldsymbol e_1 \cdot \boldsymbol{u} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \\ &= u_{1x} \tag{3, $\: u_{1x}$} \\ \Delta l_2 &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{\sqrt2}{2} & \tfrac{\sqrt2}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \\ &= \tfrac{\sqrt2}{2} (u_{1x} + u_{1y})\tag{4, $\: u_{1y}$} \\ \Delta l_3 &= \boldsymbol e_3 \cdot \boldsymbol u \\ &= u_{1y} \tag{5} \end{align}

c) Elastizität

Geben Sie die Verlängerungen der Stäbe an abhängig von den Stab-Zugkräften und gegebenen Symbolen.

Lösung

\begin{align} \Delta l_1 &= \tfrac{S_1 l}{E A} \tag{6, $\: \Delta l_1$}\\ \Delta l_2 &= \tfrac{S_2 l}{E A} \tag{7, $\: \Delta l_2$}\\ \Delta l_3 &= \tfrac{S_3 l}{E A} \tfrac 1 \beta \tag{8, $\: \Delta l_3$} \end{align}

d) Gleichungssystem und Lösung

Lösen Sie dazu das Gleichungssystem, und berechnen Sie die Stabkräfte.

Lösung

Aus den acht Gleichungen lassen sich die acht Unbekannten $S_1, S_2, S_3, u_{1x}, u_{1y}, \Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3$ berechnen. Lösung für Stabkräfte:

\[\begin{split}S_{1} &= \tfrac{F \left(2 \beta + 1\right)}{3 \beta + 1} \\ S_{2} &= \tfrac{\sqrt{2} F \beta}{3 \beta + 1} \\ S_{3} &= - \tfrac{F \beta}{3 \beta + 1}\end{split}\]

e) Stabkräfte

Berechnen Sie die Stabkräfte für $\beta=1$.

Lösung

\[\begin{split}S_1 &= \tfrac{3}{4}F \\ S_2 &= \tfrac{\sqrt{2}}{4}F \\ S_3 &= - \tfrac{1}{4}F\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2


S1, S2, S3    = symbols('S1 S2 S3')
u1x, u1y      = symbols('u1x u1y')
dl1, dl2, dl3 = symbols('dl1 dl2 dl3')

# Given:
beta = symbols("beta")
# beta = 1

F, l, EA = symbols('F, l, EA')

if beta == 1:
    pprint("\nSolution with β = 1:")
else:
    pprint("\nSolution with β given as given symbol:")

# Solve for 8 unknowns:
unknowns = [S1, S2, S3, u1x, u1y, dl1, dl2, dl3]

s = sqrt(2)/2

eqns = [
    Eq(    S1 + S2*s ,  F             ),
    Eq(    S3 + S2*s ,  0             ),
    Eq(          dl1 ,  u1x           ),
    Eq(          dl2 ,  s*(u1x + u1y) ),
    Eq(          dl3 ,  u1y           ),
    Eq(      EA*dl1/l ,  S1           ),
    Eq(      EA*dl2/l ,  S2           ),
    Eq( EA*dl3/l*beta ,  S3           ),
    ]

sol = solve(eqns, unknowns)

S1, S2, S3, u1x, u1y, dl1, dl2, dl3 = \
    sol[S1],sol[S2],sol[S3],sol[u1x],sol[u1y],sol[dl1],sol[dl2],sol[dl3]


pprint("\nu1x:")
tmp = u1x
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\nu1y:")
tmp = u1y
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\ndl1, dl2, dl3:")
for dl in [dl1, dl2, dl3]:
    tmp = dl
    tmp = tmp.simplify()
    pprint(tmp)

pprint("\nS1, S2, S3:")
for tmp in [S1, S2, S3]:
    tmp = tmp.simplify()
    pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.