2.1.D

Gegeben

Gegebene Symbole:

\[E, A, l, F\]

E-Modul \(E\) und Querschnittsfläche \(A\) für beide Stäbe gleich.
Starrer Balken.

Berechnen Sie die Verschiebung \(u_{2y}\) des Lastangriffspunkts. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Gleichgewicht

Schneiden Sie frei - durch das Lager A und durch die Stäbe.
Geben Sie drei Gleichgewichtsbedingungen an.
Zeigen Sie, dass Sie 3 Gleichungen für 4 Unbekannte erhalten.

Lösung

Mit \(\cos 45^\circ =\sin 45^\circ=\tfrac12 \sqrt 2\):

\begin{align*} \definecolor{myred}{rgb}{0.941, 0.067, 0.067} \rightarrow & & 0 &= A_h-\tfrac{\sqrt{2}}{2}S_2 \\ \circlearrowright^{\color{myred}\circ}& & 0 &= A_v l + S_1 \tfrac{l}{2} \\ \circlearrowleft^{\color{blue}\circ}& & 0 &= S_1\tfrac{l}{2}-Fl+\tfrac{\sqrt{2}}{2}S_2 l \end{align*}

Das sind 3 Gleichungen für 4 Unbekannte: \(S_1, S_2, A_h, A_v\). System ist 1-fach statisch unbestimmt.

b) Kinematik: Verschiebungen

../../../_images/2.1.D_2.png — Undeformierte und deformierte Lage

Sei \(\alpha\) der Winkel, um den sich der Balken (im Uhrzeigersinn) dreht. Zeigen Sie, dass für infinitesimale Drehungen mit den Näherungen \(c_\alpha \approx 1\) und \(s_\alpha \approx \alpha\) näherungsweise gilt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} = \tfrac12 l \begin{bmatrix} 0 \\ \alpha \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} = l \begin{bmatrix} 0\\ \alpha \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

../../../_images/2.1.D_3.png — Der Balken dreht sich um Punkt A. Die \((x,y)\)-Komponenten der Verschiebungsvektoren berechnet gemäß Aktive Transformation und mit den Näherungen \(c_\alpha \approx 1\) und \(s_\alpha \approx \alpha\).

c) Kinematik: Einheitsvektoren

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_1\) und \(\boldsymbol e_2\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} s_{45^\circ} \\ c_{45^\circ} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{\sqrt 2}{2} \\ \tfrac{\sqrt 2}{2} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

d) Kinematik: Verlängerungen

Berechnen Sie die (genäherten) Stabverlängerungen:

\[\begin{split}\Delta l_1 &= \boldsymbol e_1 \cdot \boldsymbol u_1 = \dots \\ \Delta l_2 &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u_2 = \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\Delta l_1 &= \boldsymbol e_1 \cdot \boldsymbol u_1 \\ &= \tfrac l 2 \alpha \\ \Delta l_2 &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u_2 \\ &= \tfrac{\sqrt{2}}{2} l \alpha\end{split}\]

e) Elastizität

Berechnen Sie die Stabverlängerungen aus dem Hookeschen Gesetz:

\[\begin{split}\Delta l_1 &= \ldots \\ \Delta l_2 &= \ldots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\Delta l_1 &= \tfrac{S_1l}{2EA} \\ \Delta l_2 &= \tfrac{S_2\sqrt{2}l}{2EA}\end{split}\]

f) Gleichungssystem

Geben Sie fünf Gleichungen an, aus denen Sie die folgenden fünf Unbekannten \(S_1, S_2, \Delta l_1, \Delta l_2, \alpha\) berechnen könnten.

Das Lösen dieses Gleichungssystems liefert:

\[\alpha = \tfrac{2 \sqrt{2} F}{EA \left(\sqrt{2} + 2\right)}\]

Berechnen Sie daraus die gesuchte Verschiebung des Lastangriffspunkts:

\[u_{2y} = \dots\]

Lösung

\begin{align*} 0 &= \tfrac12 S_1-F+\tfrac{\sqrt{2}}{2}S_2 \tag{1}\\ \Delta l_1 &= \tfrac l 2 \alpha \tag{2} \\ \Delta l_2 &= \tfrac{\sqrt{2}}{2} l \alpha \tag{3}\\ \Delta l_1 &= \tfrac{S_1l}{2EA} \tag{4}\\ \Delta l_2 &= \tfrac{S_2\sqrt{2}l}{2EA}\tag{5} \end{align*}

\(u_{2y}\) aus \(\alpha\):

\[\begin{split}u_{2y} &= l \alpha \\ &= \tfrac{2 \sqrt{2} F l}{EA \left(\sqrt{2} + 2\right)}\end{split}\]

g) Lösung

Berechnen Sie \(u_{2y}\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\) für die Größen:

\[\begin{split}E &= 210 \, \mathrm{GPa} \\ A &= 4 \, \mathrm{mm}^2 \\ l &= 2 \, \mathrm{m} \\ F &= 1000 \, \mathrm{N}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen liefert:

\[u_{2y} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}1{,}97\,\mathrm{mm}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

EA, l, F = symbols('EA, l, F')

sub_list=[
    ( EA , 210*GPa * 4*mm**2 ),
    ( l  , 2 *m              ),
    ( F  , 1 *kN             ),
    ]

S1, S2 = symbols('S1 S2')
dl1, dl2, alpha = symbols('Δl1 Δl2 alpha')

unks = [S1, S2, dl1, dl2, alpha]

sq = sqrt(2)/2
eqns = [
    Eq(    0 , S1/2-F+sq*S2 ),
    Eq(  dl1 , l/2*alpha    ),
    Eq(  dl2 , sq*l*alpha   ),
    Eq(  dl1 , S1*l/2/EA    ),
    Eq(  dl2 , S2*sq*l/EA   ),
    ]

# Solve equations:
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)

alpha=sol[alpha]
u2y = l*alpha

pprint("\nu2y:")
tmp = u2y
pprint(tmp)

pprint("\nu2y / mm:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp = tmp.simplify()
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.