2.1.E

Gegeben

Symbole:

\[F, l, EA, EI\]

Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A und B. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Gleichgewicht

Schneiden Sie die Lager frei, um die Lagerreaktionen sichtbar zu machen. Geben Sie drei Gleichgewichtsbedingungen an. Definieren Sie dabei eine Lagerkraft \(B\) als eine Kraft, die bei B nach links gegen den Stab drückt.

Lösung

4 Unbekannte: \(A_h, A_v, B, M_A\)

\begin{align} A_h &= - B \tag{1} \\ A_v &= - F \tag{2} \\ M_A &= - Fl + Bl \tag{3} \end{align}

Das System ist 1-fach statisch unbestimmt. Die 3 GGBn allein reichen zur Berechnung der 4 Lagerreaktionen nicht aus.

b) Stab-Elastizität

Geben Sie eine Gleichung an, die den Zusammenhang herstellt zwischen:

der horizontalen Verschiebung \(u\) der Balkenecke und
der Lagerkraft \(B\).

Zeigen Sie, dass:

\[u = \tfrac{l}{EA} B\]

Sie haben damit insgesamt vier Gleichungen für \(A_h, A_v, M_A, B\) bei noch unbekannter Verschiebung \(u\).

Lösung

\[\begin{split}S &= \tfrac{EA}{l} \Delta l \\ S &= - B \\ \Delta l &= - u\end{split}\]

Dies sind drei Gleichungen für \(\Delta l, B, u\). Eliminierung von \(\Delta l\) führt auf:

\begin{align} u = \tfrac{l}{EA} B \tag{4} \end{align}

c) Balken-Elastizität

Zeigen Sie, dass:

\[u = \tfrac{1}{EI}\left( \tfrac12 Fl^3 - \tfrac13 B l^3 \right)\]

Lösung

\[M(x) = - Fl + B (l -x)\]

Einsetzen in Biege-Differentialgleichung \(M(x) = - EI w''(x)\) liefert:

\[\begin{split}w'' &= - \tfrac{1}{EI}\left[ - Fl + B (l -x) \right] \\ w' &= - \tfrac{1}{EI}\left[ - Flx + B (lx -\tfrac12 x^2) + C_1 \right] \\ w &= - \tfrac{1}{EI}\left[ - \tfrac12 Flx^2 + B (\tfrac12 lx^2 -\tfrac16 x^3) + C_1 x + C_2 \right] \\\end{split}\]

Wegen der Einspannung oben gelten die Randbedingungen:

\[w(x=0)=0 \qquad w'(x=0)=0\]

sodass:

\[C_1 = C_2 = 0\]

Und damit ist:

\[w(x) = - \tfrac{1}{EI}\left[ - \tfrac12 Flx^2 + B (\tfrac12 lx^2 -\tfrac16 x^3)\right]\]

An der Balkenecke ist darum \(u=w(l)\):

\begin{align} u = &= - \tfrac{1}{EI}\left[ - \tfrac12 Fl^3 + B (\tfrac12 l^3 -\tfrac16 l^3)\right] \\ &= \tfrac{1}{EI}\left( \tfrac12 Fl^3 - \tfrac13 B l^3 \right) \tag{5} \end{align}

d) Lagerreaktionen und Verschiebung

Berechnen Sie:

alle Lagerreaktionen in \(\mathrm{N}\) (Newton) bzw. in \(\mathrm{Nm}\) (Newtonmeter) und
die Verschiebung \(u\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter)

für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}F &= 1 \, \mathrm{kN} \\ l &= 1 \,\mathrm{m} \\ EA &= 2000 \, \mathrm{MN} \\ EI &= 1000 \, \mathrm{MNm}\mbox{}^2\end{split}\]

Zeigen Sie, dass für diese Größen gilt:

\[\begin{split}B &= 600 \, \mathrm{N} \\ A_h &= - 600 \, \mathrm{N} \\ A_v &= - 1000 \, \mathrm{N} \\ M_A &= - 400 \, \mathrm{Nm} \\ u &= 0{,}0003 \, \mathrm{mm}\end{split}\]

Lösung

Gleichungssystem bestehend aus fünf Gleichungen für die fünf Unbekannten \(B, u, A_h, A_v, M_A\):

\begin{align} A_h &= - B \tag{1}\\ A_v &= - F \tag{2}\\ M_A &= - Fl + Bl \tag{3} \\ u &= \tfrac{l}{EA} B \tag{4}\\ u &= - \tfrac{1}{EI}\left[ - \tfrac12 Fl^3 + \tfrac13 B l^3\right] \tag{5} \\ \end{align}

Lösung:

\[\begin{split}B &= \tfrac{3 EA F l^{2}}{2 \left(EA l^{2} + 3 EI\right)} \\ A_h &= - \tfrac{3 EA F l^{2}}{2 \left(EA l^{2} + 3 EI\right)} \\ A_v &= - F \\ M_A &= \tfrac{3 EA F l^{3}}{2 \left(EA l^{2} + 3 EI\right)} - F l \\ u &= \tfrac{3 F l^{3}}{2 \left(EA l^{2} + 3 EI\right)}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen ergibt die Behauptung.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
MN        =  k*kN
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

F, l, EA, EI = symbols('F, l, EA, EI')

sub_list=[
    ( F  , 1         *kN         ),
    ( l  , 1         *m          ),
    ( EA , 2000      *MN         ),
    ( EI , 1000      *MN * m*m   ),
    ]

B, u, Ah, Av, MA = symbols('B, u, Ah, Av, MA')

unks = [B, u, Ah, Av, MA]

l3 = l**3

eqns = [
    Eq(  Ah , -B                            ),
    Eq(  Av , -F                            ),
    Eq(  MA , -F*l + B*l                    ),
    Eq(   u , B*l/EA                        ),
    Eq(   u , -( -half*F*l3  + B*l3/3 )/EI  ),
    ]

# Solve equations:
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)

B, u, Ah, Av, MA = sol[B], sol[u], sol[Ah], sol[Av], sol[MA]

pprint("\n(B, Ah, Av) / N:")
for R in B, Ah, Av:
    printout(R, unit=N, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nMA / Nm:")
printout(MA, unit=N*m, prec="nil", sub_list=sub_list)

pprint("\nu / mm:")
printout(u, unit=mm, prec="nil", sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.