2.1.G

Gegeben

Symbole:

\[a, E, A, \Delta T, \alpha\]

Für alle Stäbe gleich: \(E, A, \Delta T, \alpha.\)

a) Stablängen

Geben Sie die Längen der undeformierten Stäbe an, und zwar abhängig von \(a\):

\[l_1 = \ldots \qquad l_2 = \ldots \qquad l_3 = \ldots\]

Lösung

b) Geometrie

Berechnen Sie den Kosinus und den Sinus des Winkels \(\beta\) im Aufgabenbild.

\[\cos\beta = c_\beta = \ldots \qquad \sin\beta = s_\beta = \ldots\]

Lösung

c) Einheitsvektoren & Gleichgewicht

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Einheitsvektoren:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} = \dots \qquad \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} = \dots \qquad \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} = \dots\end{split}\]

Schneiden Sie Knoten A frei. Notieren Sie zwei Gleichgewichtsbedingungen, d.h. zwei Aussagen über \(S_1, S_2, S_3.\)

Lösung

d) Kinematik: Verlängerungen

Berechnen Sie die (genäherten) Stabverlängerungen abhängig von \(u_x\) und \(u_y\), also abhängig von den \((x,y)\)-Komponenten des Verschiebungsvektors \(\boldsymbol u\) des Knotens A.

\[\Delta l_1 = \boldsymbol e_1 \cdot \boldsymbol u = \dots \qquad \Delta l_2 = \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u = \dots \qquad \Delta l_3 = \boldsymbol e_3 \cdot \boldsymbol u = \dots\]

Lösung

\begin{align*} \Delta l_1 &= \boldsymbol e_1 \cdot \boldsymbol u \\ &= \tfrac{3}{5} u_x + \tfrac{4}{5} u_y \tag{3} \\ \Delta l_{2} &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u \\ &= u_y \tag{4} \\ \Delta l_{3} &= \boldsymbol e_3 \cdot \boldsymbol u \\ &=- \tfrac{3}{5} u_x + \tfrac{4}{5} u_y \tag{5} \\ \end{align*}

e) Elastizität (Hookesches Gesetz)

Drücken Sie die Stabkräfte aus abhängig von deren Verlängerungen und dem Temperaturzuwachs:

\[S_1 = \dots \qquad S_2 = \dots \qquad S_3 = \dots\]

Lösung

\begin{align*} S_1 &= E A \left(\tfrac{\Delta l_1}{l_1} - \alpha \Delta T \right) \tag{6}\\ S_2 &= E A \left(\tfrac{\Delta l_2}{l_2} - \alpha \Delta T \right) \tag{7}\\ S_3 &= E A \left(\tfrac{\Delta l_3}{l_3} - \alpha \Delta T \right) \tag{8} \end{align*}

f) Gleichungssystem

Nummerieren Sie alle Unbekannten und die Gleichungen, aus denen man diese Unbekannten berechnet.

Lösung

Die oben nummerierten Gleichungen sind 8 Gleichungen zur Berechnung der 8 Unbekannten \((u_x, u_y, S_1, S_2, S_3, \Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3)\).

g) Lösung für gegebene Größen

Seien ab hier folgende Größen gegeben:

\[\begin{split}a &= 1\,\mathrm{m} \\ EA &= 200 \,\mathrm{GPa} \cdot 1000 \,\mathrm{mm}^2 = 2\cdot 10^5 \, \mathrm{kN}\\ \alpha\Delta T &= 10 \cdot 10^{-6}\, \tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 126{,}5 \, \mathrm{K} = 126{,}5\cdot 10^{-5}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass für diese Größen gilt:

\[\begin{split}u_x &= 0 \, \mathrm{mm} \\ u_y &= 6{,}5 \, \mathrm{mm} \\ \Delta l_1 &= 5{,}2 \, \mathrm{mm} \\ \Delta l_2 &= 6{,}5 \, \mathrm{mm} \\ \Delta l_3 &= 5{,}2 \, \mathrm{mm} \\ S_1 &= -45 \,\mathrm{kN} \\ S_2 &= 72 \,\mathrm{kN} \\ S_3 &= -45 \,\mathrm{kN}\end{split}\]

Lösung

Das Einsetzen der gegebenen Größen in die 8 Gleichungen liefert für jede Gleichung eine wahre Aussage. Und damit ist gezeigt, dass dies dies Lösung des Gleichungssystems ist.

\begin{align*} S_1 \tfrac{3}{5} &= S_3 \tfrac{3}{5}\tag{1} \\ S_1 \tfrac{4}{5} + S_2 + S_3 \tfrac{4}{5} &= 0 \tag{2} \\ \Delta l_1 &= \tfrac{3}{5} u_x + \tfrac{4}{5} u_y \tag{3} \\ \Delta l_{2} &= u_y \tag{4} \\ \Delta l_{3} &= - \tfrac{3}{5} u_x + \tfrac{4}{5} u_y \tag{5} \\ S_1 &= EA \left(\tfrac{\Delta l_1}{l_1} - \alpha \Delta T \right) \tag{6}\\ S_2 &= EA \left(\tfrac{\Delta l_2}{l_2} - \alpha \Delta T \right) \tag{7}\\ S_3 &= EA \left(\tfrac{\Delta l_3}{l_3} - \alpha \Delta T \right) \tag{8} \\ \\ -45 \,\mathrm{kN} \tfrac{3}{5} &= -45 \,\mathrm{kN} \tfrac{3}{5} \quad \checkmark \tag{1}\\ -45 \,\mathrm{kN} \tfrac{4}{5} + 72 \,\mathrm{kN} + -45 \,\mathrm{kN} \tfrac{4}{5} &= 0 \quad\checkmark \tag{2} \\ 5{,}2 \,\mathrm{mm} &= \tfrac{3}{5} 0 + \tfrac{4}{5} 6{,}5 \,\mathrm{mm} \quad \checkmark\tag{3} \\ 6{,}5 \,\mathrm{mm} &= 6{,}5 \,\mathrm{mm} \quad \checkmark\tag{4} \\ 5{,}2 \,\mathrm{mm} &= - \tfrac{3}{5} 0 + \tfrac{4}{5} 6{,}5 \,\mathrm{mm}\quad \checkmark \tag{5} \\ -45 \,\mathrm{kN} &= 2\cdot 10^5 \, \mathrm{kN} \left(\tfrac{5{,}2 \,\mathrm{mm}}{5000 \,\mathrm{mm}} - 126{,}5\cdot 10^{-5} \right) \quad \checkmark\tag{6}\\ 72 \,\mathrm{kN} &= 2\cdot 10^5 \, \mathrm{kN} \left(\tfrac{6{,}5 \,\mathrm{mm}}{4000 \,\mathrm{mm}} - 126{,}5\cdot 10^{-5} \right) \quad \checkmark\tag{7}\\ -45 \,\mathrm{kN} &= 2\cdot 10^5 \, \mathrm{kN} \left(\tfrac{5{,}2 \,\mathrm{mm}}{5000 \,\mathrm{mm}} - 126{,}5\cdot 10^{-5} \right) \quad \checkmark \tag{8} \end{align*}

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s, K
from sympy import var, Eq, solve, pprint, Matrix, S, pi

# Units:
(mm, cm)  =  ( m/1000, m/100 )
Newton    =  kg*m/s**2
kN        =  10**3*Newton
Pa        =  Newton/m**2
MPa       =  10**6*Pa
GPa       =  10**9*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

a, b, c, E, alpha, dT, A = var("a, b, c, E, alpha, dT, A")

sub_list = [
    ( a     , 1           *m     ),
    ( E     , 200         *GPa   ),
    ( A     , 1000        *mm**2 ),
    ( alpha , S(10)**(-5) /K     ),
    ( dT    , (126+half)  *K     ),
    ]

l1, l2, l3 = 5*a, 4*a, 5*a
EA = E*A
adT = alpha * dT

# Solve without using symmetry:
ux,uy,dl1,dl2,dl3,S1,S2,S3 = var("ux,uy,dl1,dl2,dl3,S1,S2,S3")
unks = [ux,uy,dl1,dl2,dl3,S1,S2,S3]

u = Matrix([ux, uy])

e1 = Matrix([S(3)/5, S(4)/5])
e2 = Matrix([0, 1])
e3 = Matrix([-S(3)/5, S(4)/5])

# Equilibrium:
eq1 = Eq( S1*3/5, S3*3/5 )          #  horizontal
eq2 = Eq( S1*4/5 + S3*4/5 + S2, 0)  #  vertical

# Kinematics:
eq3 = Eq( dl1, e1.dot(u) )
eq4 = Eq( dl2, e2.dot(u) )
eq5 = Eq( dl3, e3.dot(u) )

# Elasticity:
eq6 = Eq( S1, EA * (dl1/l1 - adT) )
eq7 = Eq( S2, EA * (dl2/l2 - adT) )
eq8 = Eq( S3, EA * (dl3/l3 - adT) )

eqns = [eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8]
sol = solve(eqns, unks)

ux, uy = sol[ux], sol[uy]
dl1, dl2, dl3 = sol[dl1], sol[dl2], sol[dl3]
S1, S2, S3 = sol[S1], sol[S2], sol[S3]

pprint("\n(ux, uy, dl1, dl2, dl3) / mm:")
for tmp in [ux, uy, dl1, dl2, dl3]:
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= mm
    tmp = iso_round(tmp,2)
    pprint(tmp)

pprint("\n(S1, S2, S3) / kN:")
for tmp in [S1, S2, S3]:
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= kN
    pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.