2.1.I

Gegeben

Symbole:

\[E, A, l_1, a, F, 0^\circ < \alpha< 90 ^\circ\]

Drei Stäbe mit E-Modul \(E\) und Querschnittsfläche \(A\).

Vollständige Lösung mit 2·k + 2·s + r = 19 Gleichungen und Unbekannten auf einer Seite

../../../_images/all.X4.png — Hinter jeder nummerierten Gleichung in Klammern: Gleichungsnummer und darin enthaltene **neue** Unbekannte.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy import pi,S,pprint,symbols,cos,sin,Matrix,Eq,solve,sqrt,exp,default_sort_key

# ---

E, A, l1, a, alpha, F = symbols("E, A, l1, a, alpha, F")
EA = E*A

c, s = cos(alpha), sin(alpha)
l2 = a/s
l3 = l2

S1,S2,S3 = symbols("S1,S2,S3")
dl1,dl2,dl3 = symbols("dl1,dl2,dl3")
u1x,u1y,u2x,u2y,u3x,u3y,u4x,u4y = symbols("u1x,u1y,u2x,u2y,u3x,u3y,u4x,u4y")
R1y,R3x,R3y,R4x,R4y = symbols("R1y,R3x,R3y,R4x,R4y")

e1 = Matrix([1, 0])
e2 = Matrix([s, c])
e3 = Matrix([s,-c])

F  = Matrix([  F, 0  ])
R1 = Matrix([  0, R1y])
R3 = Matrix([R3x, R3y])
R4 = Matrix([R4x, R4y])

u1 = Matrix([u1x, u1y])
u2 = Matrix([u2x, u2y])
u3 = Matrix([u3x, u3y])
u4 = Matrix([u4x, u4y])

zero = Matrix([0, 0])

# ---

eq1 = Eq( S1, EA*dl1/l1 )
eq2 = Eq( S2, EA*dl2/l2 )
eq3 = Eq( S3, EA*dl3/l3 )

eq4 = Eq( dl1, e1.dot(u1 - u2) ) 
eq5 = Eq( dl2, e2.dot(u2 - u3) )
eq6 = Eq( dl3, e3.dot(u2 - u4) )

eq7x =  Eq(        F + R1 - S1*e1, zero )
eq9x =  Eq( S1*e1 - S2*e2 - S3*e3, zero )
eq11x = Eq(            R3 + S2*e2, zero)
eq13x = Eq(            R4 + S3*e3, zero)

eq15 = Eq(u1y, 0)
eq16x = Eq(u3, zero)
eq18x = Eq(u4, zero)

eqns = [eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7x,eq9x,eq11x,eq13x,eq15,eq16x,eq18x]
unks = [S1,S2,S3, dl1,dl2,dl3, u1x,u1y,u2x,u2y,u3x,u3y,u4x,u4y, R1y,R3x,R3y,R4x,R4y]

sol = solve(eqns, unks, dict=True)
sol = sol[0]

pprint("\nSolution (non-zero only):")
for s in sol:
   tmp = sol[s]
   if tmp != 0:
    tmp = tmp.simplify()
    pprint("\n" + str(s) + ":")
    pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.

Unvollständige Lösung mit 2·k + 2·s - r = 9 Gleichungen und Unbekannten auf einer Seite

../../../_images/all-1.X1.png — Hinter jeder nummerierten Gleichung in Klammern: Gleichungsnummer und darin enthaltene **neue** Unbekannte.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

E, A, l1, a, alpha, F = symbols("E, A, l1, a, alpha, F")
EA = E*A

# sub_list = [
#     ( E,        200  *GPa   ),
#     ( A,        500  *mm**2 ),
#     ( l1,         2  *m     ),
#     ( a,     S(5)/2  *m     ),
#     ( alpha,     60  *deg   ),
#     ( F,         10  *kN    ),
#     ]

sub_list=[
    ( E,          200  *GPa   ),
    ( A,          500  *mm**2 ),
    ( l1,           1  *m     ),
    ( a,     S(14)/10  *m     ),
    ( alpha,       60  *deg   ),
    ( F,          100  *kN    ),
    ]

E, A, l1, a, alpha, F = symbols("E, A, l1, a, alpha, F")
EA = E*A
ca, sa = cos(alpha), sin(alpha)

l2, l3, S1, S2, S3 = symbols("l2, l3, S1, S2, S3 ")
u1x, u2x, u2y, dl1, dl2, dl3 = symbols("u1x, u2x, u2y, dl1, dl2, dl3")
unks = [ l2, l3, S1, S2, S3, u1x, u2x, u2y, dl1, dl2, dl3 ]

eqA = Eq(    l2, a / sa            )
eqB = Eq(    l3, a / sa            )

eq1 = Eq(    S1, EA * dl1 / l1     )
eq2 = Eq(    S2, EA * dl2 / l2     )
eq3 = Eq(    S3, EA * dl3 / l2     )

eq4 = Eq(   dl1, u1x - u2x         )
eq5 = Eq(   dl2, sa*u2x + ca*u2y   )
eq6 = Eq(   dl3, sa*u2x - ca*u2y   )

eq7 = Eq(    S1, F                 ) 
eq8 = Eq(    S2*sa + S3*sa, S1     )
eq9 = Eq(    S2*ca, S3*ca          )

eqns = [eqA,eqB,eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8,eq9]
sol = solve(eqns, unks, dict=True)
sol = sol[0]

pprint("\nSolution (non-zero only):")
for s in sol:
   tmp = sol[s]
   if tmp != 0:
    tmp = tmp.simplify()
    pprint("\n" + str(s) + ":")
    pprint(tmp)

pprint("\nu1x / mm:")
tmp = sol[u1x]
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.

a) Geometrie

Berechnen Sie die Längen \(l_2, l_3\) der undeformierten Stäbe 2 und 3:

\begin{align} \label{eq-2.1.I-AB} l_2 &= \dots \tag{a} \\ l_3 &= \dots \tag{b} \end{align}

Lösung

\begin{align} l_2 &= \tfrac{a}{s_\alpha} \tag{a} \\ l_3 &= \tfrac{a}{s_\alpha} \tag{b} \end{align}

b) Elastizität

Hookesches Gesetz: Notieren Sie den Zusammenhang zwischen den Stabkräften \(S_1, S_2, S_3\) und den (genäherten) Stabverlängerungen \(\Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3\):

\begin{align} S_1 &= \dots \tag{1} \\ S_2 &= \dots \tag{2} \\ S_3 &= \dots \tag{3} \end{align}

Lösung

\begin{align} S_1 &= EA \tfrac{\Delta l_1}{l_1} \tag{1} \\ S_2 &= EA \tfrac{\Delta l_2}{l_2} \tag{2} \\ S_3 &= EA \tfrac{\Delta l_3}{l_3} \tag{3} \\ \end{align}

c) Kinematik: Einheitsvektoren und Verlängerungen

Berechnen Sie die \((x,y)\)-Komponenten der Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2\) und \(\boldsymbol e_3\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \dots \\ \dots \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

An der Skizze kann man ablesen, dass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} s_\alpha \\ c_\alpha \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} s_\alpha \\ -c_\alpha \end{bmatrix}\end{split}\]

Zur Veranschaulichung betrachtet man z.B. \(\alpha = 60^\circ.\) Die Skizze zeigt diesen Fall. Hier gilt:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} s_{60^\circ} \\ c_{60^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle 0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ 0{,}5 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} s_{60^\circ} \\ -c_{60^\circ} \end{bmatrix} \stackrel{\scriptscriptstyle 0{,}01}{\approx} \begin{bmatrix} 0{,}87 \\ - 0{,}5 \end{bmatrix}\end{split}\]

Dies passt zu dem, was man in der Skizze sieht.

Details

Um standardmäßig vorgehen zu können:

definiert man Winkel \(\varphi_2\) bzw. \(\varphi_3\).
notiert man den Zusammenhang zwischen \(\alpha\) und \(\varphi_2\) bzw. \(\varphi_3\).
verwendet man Additionstheoreme.

Berechnen Sie die (genäherten) Stabverlängerungen \(\Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3\) abhängig von den Knotenverschiebungen. Verwenden Sie Ihre Kenntnisse über die Einheitsvektoren.

\begin{align} \Delta l_1 &= \ldots \tag{4} \\ \Delta l_2 &= \ldots \tag{5} \\ \Delta l_3 &= \ldots \tag{6} \end{align}

Lösung

Genäherte Verlängerung:

\begin{align} \Delta l_1 &= u_{1x} - u_{2x} \tag{4} \\ \Delta l_2 &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u_2 \\ &= \begin{bmatrix} s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} \tag{5} \\ \Delta l_3 &= \boldsymbol e_3 \cdot \boldsymbol u_2 \\ &= \begin{bmatrix} s_\alpha & -c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} \tag{6} \end{align}

d) Gleichgewicht

Geben Sie drei Aussagen (Gleichgewichtsbedingungen) an, in denen die Stabkräfte \(S_1, S_2, S_3\) auftauchen - aber keine Reaktionskräfte:

\begin{align} \ldots &= \ldots \tag{7} \\ \ldots &= \ldots \tag{8} \\ \ldots &= \ldots \tag{9} \\ \end{align}

Lösung

g) Gleichungssystem und Lösung

Aus den Gleichungen (a), (b) lassen sich sofort die Stablängen \(l_2, l_3\) berechnen. Es verbleiben dann noch 9 Gleichungen für 9 Unbekannte. Nennen Sie diese 9 Unbekannten.

Berechnen Sie dann \(u_{1x}\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\) für folgende Größen:

\[\begin{split}E &= 200 \, \mathrm{GPa} \\ A &= 500 \, \mathrm{mm}^2 \\ l_1 &= 1 \, \mathrm{m} \\ a &= 1{,}4 \, \mathrm{m} \\ \alpha &= 60 ^\circ \\ F &= 100 \, \mathrm{kN}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[u_{1x} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}2{,}08 \,\mathrm{mm}\]

Lösung

9 Gleichungen für die 9 Unbekannten: \(S_1, S_2, S_3, u_{1x}, u_{2x}, u_{2y}, \Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3\):

Das Lösen des Gleichungssystems und das Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[u_{1x} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}2{,}08 \,\mathrm{mm}\]