2.1.L

Gegeben

Symbole: \(a, l, q, E, d.\)

Starrer Balken.
Alle Stäbe haben einen kreisförmigen Querschnitt mit Kreisdurchmesser \(d\).

a) Geometrie

Berechnen Sie die Querschnittsfläche \(A\) abhängig von den gegebenen Symbolen.

Lösung

\[A=\tfrac \pi 4 d^2\]

b) Gleichgewicht

Gegeben Sie zwei Gleichgewichtsbedingungen an.

Lösung

Zugkräfte \(S_1, S_2, S_3\) in den Stäben 1, 2, 3 mit \(R=\tfrac12 q a\):

\begin{align} S_1 + S_2 + S_3 + R &= 0 \tag{1}\\ S_1 \tfrac 2 3 a &= S_3 \tfrac 1 3 a \tag{2} \end{align}

c) Kinematik: Einheitsvektoren

Definieren Sie Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3\), die entlang der Stäbe zeigen , und zwar in positive \(y\)-Richtung. Berechnen Sie:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} &= \dots \\ \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} &= \dots \\ \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} &= \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\end{split}\]

d) Kinematik: Verschiebungsvektoren

Seien:

\(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_2, \boldsymbol u_3\): Verschiebungsvektoren von Teilchen auf der Balken-Mittellinie bei 1, 2 und 3 mit den \((x,y)\)-Komponenten \((u_{1x}, u_{1y}), (u_{2x}, u_{2y}), (u_{3x}, u_{3y}).\)
\(\alpha\): Ein Winkel zur Beschreibung der Balken-Winkelposition, sodass:
- \(\alpha = 0\) für die undeformierte Lage
- \(\alpha\) positiv zählend entgegen dem Uhrzeigersinn

Das System hat 2 Freiheitsgrade. Verwenden Sie die Koordinaten \((u_{2y}, \alpha)\) zur Beschreibung der Lage/Konfiguration des Systems. Zeigen Sie dass für infinitesimale Drehungen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} - \tfrac23 a \alpha \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{3x} \\ u_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} + \tfrac13 a \alpha \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Die \((x,y)\)-Komponenten der Verschiebungsvektoren ergeben sich (vgl. Vektor: Transformation) zu:

Für große Drehungen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac 23 a \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - \tfrac 23 a \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac 23 a \\ u_{2y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} - \tfrac 23 a c_\alpha \\ - \tfrac 23 a s_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac 23 a ( 1 - c_\alpha)\\ u_{2y} - \tfrac 23 a s_\alpha \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{3x} \\ u_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} - \tfrac 13 a \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tfrac 13 a \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - \tfrac 13 a \\ u_{2y} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \tfrac 13 a c_\alpha \\ \tfrac 13 a s_\alpha \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - \tfrac 13 a \left(1 - c_\alpha\right) \\ u_{2y} + \tfrac 13 a s_\alpha \end{bmatrix}\end{split}\]
Für infinitesimale Drehungen wird linearisiert in \(\alpha\): \(c_\alpha\) wird ersetzt durch \(1\). Und \(s_\alpha\) wird ersetzt durch \(\alpha\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} - \tfrac 23 a \alpha \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_{3x} \\ u_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0\\ u_{2y} + \tfrac 13 a \alpha \end{bmatrix}\end{split}\]

e) Kinematik: Verlängerungen

Berechnen Sie die (genäherten) Stabverlängerungen \(\Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3\) abhängig von den gegebenen Symbolen und abhängig von \(u_{2y}\) und \(\alpha\):

\[\begin{split}\Delta l_1 &= \boldsymbol e_1 \cdot \boldsymbol u_1 = \dots \\ \Delta l_2 &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u_2 = \dots \\ \Delta l_3 &= \boldsymbol e_3 \cdot \boldsymbol u_3 = \dots\end{split}\]

Lösung

\begin{align} \Delta l_1 &= \boldsymbol e_1 \cdot \boldsymbol u_1 \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} - \tfrac 23 a \alpha \end{bmatrix} \\ &= u_{2y} - \tfrac23 a \alpha \tag{3} \\ \Delta l_2 &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u_2 \\ &= u_{2y} \tag{4} \\ \Delta l_3 &= \boldsymbol e_3 \cdot \boldsymbol u_3 \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ u_{2y} + \tfrac 13 a \alpha \end{bmatrix} \\ &= u_{2y} + \tfrac13 a \alpha \tag{5} \end{align}

f) Elastizität

Hookesches Gesetz: Drücken Sie die Verlängerungen aus abhängig von \(c= \tfrac{EA}{l}=\tfrac{\pi E}{4 l} d^{2}\) und den Stab-Zugkräften:

\[\begin{split}\Delta l_1 &= \dots \\ \Delta l_2 &= \dots \\ \Delta l_3 &= \dots\end{split}\]

Lösung

\begin{align} \Delta l_1 &= \tfrac 1 c S_1 \tag{6}\\ \Delta l_2 &= \tfrac 1 c S_2 \tag{7}\\ \Delta l_3 &= \tfrac 1 c S_3 \tag{8} \end{align}

g) Gleichungssystem und Lösung

Nummerieren Sie 8 Gleichungen, aus denen Sie die 8 Unbekannten \(S_1, S_2, S_3, \Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3, u_{2y}, \alpha\) berechnen können. Und berechnen Sie diese Unbekannten für die folgenden gegebenen Größen:

\[\begin{split}a &= 3 \,\mathrm{m} \\ l &= 1{,}4 \,\mathrm{m} \\ q &= 18 \,\mathrm{kN/m} \\ E &= 12 \,\mathrm{GPa} \\ d &= 120 \,\mathrm{mm}\end{split}\]

Zeigen Sie dass gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}00001\) gilt:

\[\begin{split}u_{2y} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}00001}}{\approx}-0{,}09947 \,\mathrm{mm} \\ \alpha &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}00001}}{\approx}-0{,}00114 ^\circ\end{split}\]

Lösung

\begin{align} S_1 + S_2 + S_3 + R &= 0 \tag{1}\\ S_1 \tfrac 2 3 a &= S_3 \tfrac 1 3 a \tag{2}\\ \Delta l_1 &= u_{2y} - \tfrac23 a \alpha \tag{3}\\ \Delta l_2 &= u_{2y} \tag{4}\\ \Delta l_3 &= u_{2y} + \tfrac13 a \alpha \tag{5}\\ \Delta l_1 &= \tfrac 1 c S_1 \tag{6} \\ \Delta l_2 &= \tfrac 1 c S_2 \tag{7}\\ \Delta l_3 &= \tfrac 1 c S_3 \tag{8} \end{align}

wobei \(R=\tfrac12 q a\) und \(c=\tfrac{\pi E}{4 l} d^{2}\).

Lösung:

\[\begin{split}S_1 &= - \tfrac{3}{28} a q \\ S_2 &= - \tfrac{5}{28} a q \\ S_3 &= - \tfrac{3}{14} a q \\ \Delta l_1 &= - \tfrac{3 a l q}{7 \pi E d^{2}} \\ \Delta l_2 &= - \tfrac{5 a l q}{7 \pi E d^{2}} \\ \Delta l_3 &= - \tfrac{6 a l q}{7 \pi E d^{2}} \\ u_{2y} &= - \tfrac{5 a l q}{7 \pi E d^{2}} \\ \alpha &= - \tfrac{3 l q}{7 \pi E d^{2}}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen und Runden liefert:

\[\begin{split}u_{2y} & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}00001}}{\approx}-0{,}09947 \,\mathrm{mm} \\ \alpha & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}00001}}{\approx}-0{,}00114 ^\circ\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

a, l, q, E, d = symbols("a, l, q, E, d")

sub_list = [
    ( a,   3    *m      ),
    ( l,   1.4  *m      ),
    ( q,  18    *kN / m ),
    ( E,  12    *GPa    ),
    ( d, 120    *mm     ),
    ]

# Derived:
R = q*a/2
A = pi*d*d/4
EA = E*A
c = EA/l

S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u2y, alpha = symbols("S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u2y, alpha")
unks = [S1,S2,S3, dl1,dl2,dl3, u2y,alpha]

# 6 equations:
e1 = Eq(S1 + S2 + S3 + R, 0)
e2 = Eq(S1*2*a/3, S3*1*a/3)

e3 = Eq(dl1, u2y - 2*a*alpha/3)
e4 = Eq(dl2, u2y)
e5 = Eq(dl3, u2y + 1*a*alpha/3)

e6 = Eq(dl1, S1/c)
e7 = Eq(dl2, S2/c)
e8 = Eq(dl3, S3/c)

# Linear system:
eqns = [e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8]
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)

# --- b ---
u2y, al = sol[u2y], sol[alpha]

print("\nu2y / mm:")
printout(u2y, unit=mm, prec=5, sub_list=sub_list)

print("\nα / deg:")
printout(al, unit=deg, prec=5, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.