2.1.M

Gegeben

../../../_images/2.1.M.png

Symbole:

\[\Delta T, A, (l_1, E_1, \alpha_1), (l_2, E_2, \alpha_2), (u_{1x}, u_{1y})\]

  • \(\Delta T\): Temperaturzuwachs in allen Stäben.

  • \(A\): Querschnittsfläche aller Stäbe.

  • \((l_1, E_1, \alpha_1)\): Länge, E-Modul, Wärmeausdehnungskoeffizient der Stäbe links und rechts.

  • \((l_2, E_2, \alpha_2)\): Länge, E-Modul, Wärmeausdehnungskoeffizient des Stabs in der Mitte.

  • \((u_{1x}, u_{1y})\): Komponenten des Verschiebungsvektors eines Teilchens bei Gelenk 1.

Berechnen Sie dazu die unvollständige Lösung mit 2·k + 2·s - r = 8 Gleichungen und Unbekannten. Berechnen Sie insbesondere \(u_{1y}\).

a) Gleichgewicht

Geben Sie zwei Gleichgewichtsbedingung an, die Sie an einem Knotenschnitt um Knoten 1 ablesen können. Verwenden Sie die Abkürzung:

\[w = \tfrac{\sqrt 2}{2}\]

Lösung

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\begin{align} S_1 w + S_3 w + S_2 &= F \tag{1, $\: S_1, S_2, S_3$} \\ S_1 w &= S_3 w \tag{2} \end{align}

b) Kinematik: Einheitsvektoren und Verlängerungen

Berechnen Sie die Komponenten der Einheitsvektoren \(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3\), sodass diese entlang der Stäbe 1 und 2 und 3 nach unten zeigen.

\[\begin{split}\begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} &= \dots \\ \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} &= \dots \\ \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} &= \dots\end{split}\]

Und berechnen Sie die (genäherten) Stabverlängerungen:

\[\begin{split}\Delta l_1 &= \boldsymbol e_1\cdot \boldsymbol u_1 = \dots \\ \Delta l_2 &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u_1 = \dots \\ \Delta l_3 &= \boldsymbol e_3\cdot \boldsymbol u_1 = \dots\end{split}\]

Lösung

\begin{align} \Delta l_1 &= \boldsymbol e_1 \cdot \boldsymbol u_1 \\ &= \begin{bmatrix} w & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \tag{3, $\:u_{1x}, u_{1y}, \Delta l_1$} \\ \Delta l_2 &= \boldsymbol e_2 \cdot \boldsymbol u_1 \\ &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \\ &= u_{1y} \tag{4, $\:\Delta l_2$} \\ \Delta l_3 &= \boldsymbol e_3 \cdot \boldsymbol u_1 \\ &= \begin{bmatrix} -w & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \tag{5, $\:\Delta l_3$} \end{align}

c) Elastizität

Hookesches Gesetz: Drücken Sie die Stabkräfte aus abhängig von Verlängerung und Temperaturzuwachs.

\[\begin{split}S_1 &= E_1 A \left(\ldots - \ldots \Delta T \right) \\ S_2 &= \dots \\ S_3 &= \dots \\\end{split}\]

Lösung

\begin{align} S_1 &= E_1 A \left(\tfrac{\Delta l_1}{l_1} - \alpha_1 \Delta T \right) \tag{6} \\ S_2 &= E_2 A \left(\tfrac{\Delta l_2}{l_2} - \alpha_2 \Delta T \right) \tag{7} \\ S_3 &= E_1 A \left(\tfrac{\Delta l_3}{l_1} - \alpha_1 \Delta T \right) \tag{8} \end{align}

d) Gleichungssystem und Lösung für Spezialfall

Notieren Sie die unvollständige Lösung mit 2·k + 2·s - r = 8 Gleichungen und Unbekannten. Das heißt: Notieren Sie das Gleichungssystem mit den 8 Unbekannten.

Betrachten Sie ab jetzt den Spezialfall:

\[\begin{split}l_1 = l_2 &= l \\ E_1 = E_2 &= E \\ \alpha_1 = \alpha_2 &= \alpha \\ F&= 0\end{split}\]

mit gegebenen Symbolen \(l, E, \alpha\).

Notieren Sie das Gleichungssystem mit den 8 Unbekannten für diesen Spezialfall. Und lösen Sie das Gleichungssystem. Wenn das erledigt ist: Verwenden Sie die folgenden gegebenen Größen:

\[\begin{split}l &= 1 \,\mathrm{m} \\ E &= 200 \,\mathrm{GPa} \\ \alpha &= 5 \cdot 10^{-6} \, \tfrac{1}{\mathrm{K}} \\ \Delta T &= 20 \, \mathrm{K} \\\end{split}\]

Berechnen Sie hierfür \(u_{1y}\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[u_{1y} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}12 \, \mathrm{mm}\]

Lösung

8 Gleichungen zur Berechnung der 8 Unbekannten \(S_1, S_2, S_3, \Delta l_1, \Delta l_2, \Delta l_3, u_{1x}, u_{1y}\):

\begin{align} S_1 w + S_3 w + S_2 &= F \tag{1, $\: S_1, S_2, S_3$} \\ S_1 w &= S_3 w \tag{2} \\ \Delta l_1 &= \begin{bmatrix} w & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \tag{3, $\:u_{1x}, u_{1y}, \Delta l_1$} \\ \Delta l_2 &= u_{1y} \tag{4, $\:\Delta l_2$} \\ \Delta l_3 &= \begin{bmatrix} -w & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \tag{5, $\:\Delta l_3$} \\ S_1 &= E_1 A \left(\tfrac{\Delta l_1}{l_1} - \alpha_1 \Delta T \right) \tag{6} \\ S_2 &= E_2 A \left(\tfrac{\Delta l_2}{l_2} - \alpha_2 \Delta T \right) \tag{7} \\ S_3 &= E_1 A \left(\tfrac{\Delta l_3}{l_1} - \alpha_1 \Delta T \right) \tag{8} \end{align}

Dies vereinfacht sich für den Spezialfall zu:

\begin{align} \tfrac{\sqrt{2} S_{1}}{2} + S_{2} + \tfrac{\sqrt{2} S_{3}}{2} &= 0\tag{1}\\ \tfrac{\sqrt{2} S_{1}}{2} &= \tfrac{\sqrt{2} S_{3}}{2}\tag{2}\\ \Delta l_{1} &= \tfrac{\sqrt{2} u_{1x}}{2} + \tfrac{\sqrt{2} u_{1y}}{2}\tag{3}\\ \Delta l_{2} &= u_{1y}\tag{4}\\ \Delta l_{3} &= - \tfrac{\sqrt{2} u_{1x}}{2} + \tfrac{\sqrt{2} u_{1y}}{2}\tag{5}\\ S_{1} &= EA \left(- \alpha \Delta T + \tfrac{\Delta l_{1}}{l}\right)\tag{6}\\ S_{2} &= EA \left(- \alpha \Delta T + \tfrac{\Delta l_{2}}{l}\right)\tag{7}\\ S_{3} &= EA \left(- \alpha \Delta T + \tfrac{\Delta l_{3}}{l}\right)\tag{8}\\ \end{align}

Lösung für die gesuchte Verschiebung:

\[u_{1y} = \tfrac{1 + \sqrt{2}}{2}l \alpha \Delta T\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[u_{1y} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}12 \, \mathrm{mm}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s, K
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

l1,l2,E1,E2,al1,al2,dT,A,F = symbols("l1,l2,E1,E2,alpha2,alpha1,dT,A,F")

# Derived from given symbols:
a1dT = al1 * dT
a2dT = al2 * dT

# Unknowns:
S1,S2,S3,dl1,dl2,dl3,u1x,u1y = symbols("S1,S2,S3,dl1,dl2,dl3,u1x,u1y")

w = sqrt(2)/2
e1 = Matrix([w, w])
e2 = Matrix([0, 1])
e3 = Matrix([-w, w])
u1 = Matrix([u1x, u1y])

# 8 Equations:
eq1 = Eq( S1*w + S3*w + S2, F )
eq2 = Eq( S1*w, S3*w          )
eq3 = Eq( dl1, e1.dot(u1))
eq4 = Eq( dl2, e2.dot(u1))
eq5 = Eq( dl3, e3.dot(u1))
eq6 = Eq( S1, E1*A*(dl1/l1 - a1dT) )
eq7 = Eq( S2, E2*A*(dl2/l2 - a2dT) )
eq8 = Eq( S3, E1*A*(dl3/l1 - a1dT) )

l, E, al = symbols("l, E, alpha")

sub_list = [
    (   l1,   l   ),
    (   l2,   l   ),
    (   E1,   E   ),
    (   E2,   E   ),
    (  al1,   al  ),
    (  al2,   al  ),
    (    F,   0   ),
    ]

# Solve Special Case for Symbols:
eqns = []
i = 0
for e in [eq1,eq2,eq3,eq4,eq5,eq6,eq7,eq8]:
    i += 1
    tmp = e.subs(sub_list)
    eqns.append(tmp)

unks = [S1, S2, S3, dl1, dl2, dl3, u1x, u1y]
sol = solve(eqns, unks)

for s in sol:
    pprint(s)
    tmp = sol[s]
    tmp = tmp.simplify()
    pprint(tmp)
    pprint("\n")

# Solve for Quantities:
sub_list = [
    (    l,    1          *m      ),
    (    E,  200          *GPa    ),
    (   al,  S(5)/10**6   /K      ),
    (   dT,   20          *K      ),
    (    A,   50          *mm**2  ),
    ]

pprint("\nu1y / mm:")
printout(sol[u1y], unit=mm, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

  3. Play: Knopf ▶ drücken.