2.1.P

Gegeben

Symbole:

\[g, l, F, E, A, \rho\]

\(l\): Länge des unbelasteten und undeformierten Stabs.
\(E, A, \rho\): E-Modul, Querschnittsfläche und Massendichte.

Berechnen Sie die Verschiebung \(u(l)\) am Stabende. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Gleichgewicht

Schneiden Sie frei, sodass die von \(x\) abhängige Stabkraft \(S\) sichtbar wird. Und geben Sie \(S\) abhängig von den gegebenen Symbolen und der Position \(x\) an. Zeigen Sie, dass:

\begin{align} \label{eq-2.1.P-1} S = F + \rho A g (l - x) \tag{1} \end{align}

Lösung

Sei \(G_x\) die von \(x\) abhängige Gewichtskraft eine Stab-Abschnitts der Länge \(l-x\). Für \(x=l\) ist \(G_x=0\). Und für \(x=0\) ist \(G_x = \rho A gl\) gleich der Gewichtskraft des gesamten Stabs.

\begin{align} S &= F + G_x \notag\\ &= F + \rho A g (l - x) \notag \end{align}

b) Kinematik und Elastizität

Sei \(\varepsilon= \tfrac{{\mathsf d}\,u}{{\mathsf d}\,x}\) die Dehnung und \(\sigma=\tfrac S A=E\varepsilon\) die Spannung, sodass:

\[u(l) = u(0) + \int_{x=0}^l \varepsilon \, {\mathsf d}x = 0 + \tfrac 1 E \int_{x=0}^l \sigma \, {\mathsf d}x\]

Zeigen Sie, dass:

\[u(l)=\tfrac{l}{EA} \left(\tfrac12 A g l \rho + F\right)\]

bzw. mit der Masse \(m=\rho A l\):

\[u(l)=\tfrac12 \tfrac{m g l}{EA} + \tfrac{Fl}{EA}\]

Lösung

Einsetzen von \(\sigma =\tfrac S A\) mit dem zuvor berechneten \(S\) aus (1) führt auf:

\[\begin{split}u(l) &= \tfrac 1 E \int_{x=0}^l \sigma \, {\mathsf d}x \\ &= \tfrac 1 E \int_{x=0}^l \tfrac S A\, {\mathsf d}x \\ &= \tfrac{1}{EA}\int_{x=0}^l F + \rho A g (l - x) \, {\mathsf d}x\end{split}\]

Integration führt auf:

\[u(l)=\tfrac{l}{2 EA} \left(A g l \rho + 2 F\right)\]

c) Verschiebung

Berechnen Sie \(u(l)\) in \(\mathrm{m}\) (Meter) für die folgenden Größen:

\begin{align*} l &= 1000 \,\mathrm{m} & F &= 1000 \,\mathrm{N} \\ E &= 210 \,\mathrm{GPa} & A &= 10 \,\mathrm{mm}^2 \\ \rho &= 7850 \,\tfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} & g &= 10 \,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{align*}

Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}001\), und zeigen Sie, dass:

\[u(l) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}0{,}663\,\mathrm{m}\]

Lösung

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\[u(l) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}0{,}663\,\mathrm{m}\]

d) Masse

Für diese Größen: Berechnen Sie die Masse \(m\) des Stabs in \(\mathrm{kg}\) (Kilogramm) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Zeigen Sie, dass:

\[m \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}78{,}5\,\mathrm{kg}\]

Lösung

\[\begin{split}m &= \rho A l \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}78{,}5\,\mathrm{kg}\end{split}\]

e) Spannung

Für diese Größen: Berechnen Sie die größte auftretende Zugspannung \(\sigma\) in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Zeigen Sie, dass:

\[\sigma \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}178{,}5\,\mathrm{MPa}\]

Lösung

Einsetzen von \(x=0\) in (1) sowie \(S = \sigma A\) liefert:

\[\begin{split}\sigma A &= F + \rho A g l \\ &= F + m g \\ \sigma &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}178{,}5\,\mathrm{MPa}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

g, l, F, E, A, rho = symbols("g, l, F, E, A, rho")

sub_list = [
    (   g,     10 *m/s**2  ),
    (   l,   1000 *m       ),
    (   F,   1000 *N       ),
    (   E,    210 *GPa     ),
    (   A,     10 *mm**2   ),
    ( rho,   7850 *kg/m**3 ),
    ]

x = symbols("x")
S = F + rho*A*g*(l-x)
sig = S/A

pprint("\nul:")
ul = 1/E * integrate(sig, (x, 0, l))
printout(ul, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\nul / m:")
printout(ul, unit=m, prec=3, sub_list=sub_list)

pprint("\nm / kg:")
mass = rho*A*l
printout(mass, unit=kg, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nσ / MPa:")
sig0 = sig.subs(x,0)
printout(sig0, unit=MPa, prec=1, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.