2.1.R

Gegeben

Symbole:

\[a, F, \beta, EA\]

$EA$ für alle Stäbe gleich.

a) Geometrie: Stablängen

Berechnen Sie $l_1$ und $l_2$, definiert als die Längen der Stäbe im undeformierten Zustand. Und zwar abhängig von den gegebenen Symbolen. Vervollständigen Sie die folgenden Aussagen.

\[l_1 = 1 \cdot a \qquad l_2 = \ldots \, a \qquad l_3 = \ldots \, a\]

Lösung

\[\begin{split}l_1 &= a \\ l_2 &= \sqrt 5 a \\ l_3 &= 2 a \\\end{split}\]

b) Geometrie: Einheitsvektoren

Geben Sie die $(x,y)$-Komponenten der Einheitsvektoren $\boldsymbol e_1$ und $\boldsymbol e_2$ und $\boldsymbol e_3$ an. Vervollständigen Sie die folgenden Aussagen.

\begin{align} \begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{\varphi_1} \\ s_{\varphi_1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{\varphi_2} \\ s_{\varphi_2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac{2}{\sqrt 5}\\ \ldots \\ \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix} \end{align}

Lösung

\begin{align} \begin{bmatrix} e_{1x} \\ e_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{\varphi_1} \\ s_{\varphi_1} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{2x} \\ e_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{\varphi_2} \\ s_{\varphi_2} \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \tfrac{2}{\sqrt 5}\\ \tfrac{1}{\sqrt 5}\\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} e_{3x} \\ e_{3y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix} \end{align}

c) r = 6 Gleichungen zu Zwängen

An den 4 Knoten gibt es insgesamt 2·k = 8 Knotenverschiebungen (grün), nämlich $u_{1x}, u_{1y}, u_{2x}, u_{2y}, u_{3x}, u_{3y}, u_{4x}, u_{4y}.$ Aufgrund der Lagerung sind einige dieser Verschiebungen gleich null. Vervollständigen Sie die folgenden 6 Aussagen für die 6 Unbekannten $u_{1x}, u_{1y}, u_{2x}, u_{2y}, u_{4x}, u_{4y}.$

\begin{align} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ \ldots \\ \end{bmatrix} \tag{1, 2, $\,\,u_{1x}, u_{1y}$} \\ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix} \tag{3, 4, $\,\,u_{2x}, u_{2y}$} \\ \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \\ \end{bmatrix} \tag{5, 6, $\,\,u_{4x}, u_{4y}$} \end{align}

Lösung

\begin{align} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \tag{1, 2, $\,\,u_{1x}, u_{1y}$}\\ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \tag{3, 4, $\,\,u_{2x}, u_{2y}$}\\ \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \tag{5, 6, $\,\,u_{4x}, u_{4y}$} \end{align}

d) 2·k = 8 Gleichungen zum Gleichgewicht

An jedem der 4 Knoten können verschiedenartige Kräfte wirken:

Kräfte von außen, z.B. die gegebene Kraft $F$ am Knoten 3.
Kräfte von außen, z.B. die unbekannte Lagerreaktion $R_{2y}$ am Knoten 2.
Kräfte von innen, z.B. die unbekannte Stabkraft $S_2$ am Knoten 3.

Vervollständigen Sie die folgenden 6 Aussagen:

\begin{align} \begin{bmatrix} R_{1x} \\ R_{1y} \end{bmatrix} + S_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{7, 8, $\,\,S_1, R_{1x}, R_{1y}$} \\ \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} + S_2 \begin{bmatrix} \tfrac{2}{\sqrt 5} \\ \tfrac{1}{\sqrt 5} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{9, 10, $\,\,S_2, R_{2x}, R_{2y}$} \\ F \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \! - S_1 \! \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \! - S_2 \! \begin{bmatrix} \tfrac{2}{\sqrt 5} \\ \tfrac{1}{\sqrt 5} \end{bmatrix} \! - S_3 \! \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{11, 12, $\,\,S_3$} \\ \begin{bmatrix} R_{4x} \\ R_{4y} \end{bmatrix} + \ldots \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{13, 14, $\,\,R_{4x}, R_{4y}$} \end{align}

Lösung

\begin{align} \begin{bmatrix} R_{1x} \\ R_{1y} \end{bmatrix} + S_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{7, 8, $\,\,S_1, R_{1x}, R_{1y}$} \\ \begin{bmatrix} R_{2x} \\ R_{2y} \end{bmatrix} + S_2 \begin{bmatrix} \tfrac{2}{\sqrt 5} \\ \tfrac{1}{\sqrt 5} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{9, 10, $\,\,S_2, R_{2x}, R_{2y}$}\\ F \begin{bmatrix} c_\beta \\ s_\beta \end{bmatrix} - S_1 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} - S_2 \begin{bmatrix} \tfrac{2}{\sqrt 5} \\ \tfrac{1}{\sqrt 5} \end{bmatrix} - S_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{11, 12, $\,\,S_3$} \\ \begin{bmatrix} R_{4x} \\ R_{4y} \end{bmatrix} + S_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \tag{13, 14, $\,\,R_{4x}, R_{4y}$} \end{align}

e) s = 3 Gleichungen zur Kinematik

Jeder der 3 Stäbe könnte eine Verlängerung erleiden. Diese Verlängerung hängt ab von den Verschiebungen der Knoten des jeweiligen Stabs. Vervollständigen Sie die folgenden 3 Aussagen:

\begin{align} \Delta l_1 &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} u_{3x} \\ u_{3y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \right) \tag{15, $\,\,\Delta l_1, u_{3x} u_{3y}$} \\ \Delta l_2 &= \begin{bmatrix} \tfrac{2}{\sqrt 5} & \tfrac{1}{\sqrt 5} \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} u_{3x} \\ u_{3y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \right) \tag{16, $\,\,\Delta l_2$} \\ \Delta l_3 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \ldots \\ \ldots \end{bmatrix} \right) \tag{17, $\,\,\Delta l_3$} \end{align}

Lösung

\begin{align} \Delta l_1 &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} u_{3x} \\ u_{3y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \right) \tag{15, $\,\,\Delta l_1$} \\ \Delta l_2 &= \begin{bmatrix} \tfrac{2}{\sqrt 5} & \tfrac{1}{\sqrt 5} \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} u_{3x} \\ u_{3y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} \right) \tag{16, $\,\,\Delta l_2$} \\ \Delta l_3 &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} u_{3x} \\ u_{3y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{4x} \\ u_{4y} \end{bmatrix} \right) \tag{17, $\,\,\Delta l_3$} \end{align}

f) s = 3 Gleichungen zur Elastizität

Jeder der 3 Stäbe ist elastisch. Vervollständigen Sie die folgenden 3 Aussagen:

\begin{align} S_1 &= EA \tfrac{\Delta l_1}{\ldots} \tag{18}\\ S_2 &= EA \tfrac{\ldots}{\sqrt 5 a} \tag{19}\\ S_3 &= EA \tfrac{\ldots}{\ldots} \tag{20}\\ \end{align}

Lösung

\begin{align} S_1 &= EA \tfrac{\Delta l_1}{a} \tag{18}\\ S_2 &= EA \tfrac{\Delta l_2}{\sqrt 5 a} \tag{19}\\ S_3 &= EA \tfrac{\Delta l_3}{2 a} \tag{20}\\ \end{align}

g) r + 2·k + 2·s Gleichungen / Unbekannte

Die Unbekannten sind r = 6 Lagerreaktionen, s = 3 Stabverlängerungen, s = 3 Stabkräfte und 2·k = 8 Verschiebungen. Das Auflösen der Gleichungen nach diesen Unbekannten ergibt die Lösung. Ein Teil dieser Lösung ist:

\[u_{3y} = \frac{9 s_\beta - 2 c_\beta}{9 EA}Fa\]

Berechnen Sie diese Verschiebung

in $\mathrm{mm}$ (Millimeter)
gerundet auf $0{,}001$
für die Größen:

\[\begin{split}\beta &= 0^\circ \\ E &= 200 \, \mathrm{GPa} \\ A &= 10 \, \mathrm{cm}^2 \\ a &= 1 \, \mathrm{m} \\ F &= 1000 \, \mathrm{N}\end{split}\]

\[u_{3y} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} \ldots \,\mathrm{mm}\]

Lösung

\[u_{3y} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} -0{,}001 \,\mathrm{mm}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import default_sort_key

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# Given Symbols:
a, EA, F, beta = symbols("a, EA, F, beta")

sub_list = [
   ( EA,     200*GPa * 10*cm**2   ),
   ( a,      1       *m           ),
   ( F,      1000    *N           ),
   ( beta,   0   *deg             ),
   ]

# Variables:
S1,S2,S3 = symbols("S1,S2,S3")
dl1,dl2,dl3 = symbols("dl1,dl2,dl3")
u1x,u1y,u2x,u2y,u3x,u3y,u4x,u4y = symbols("u1x,u1y,u2x,u2y,u3x,u3y,u4x,u4y")
R1x,R1y, R2x,R2y, R4x,R4y = symbols("R1x,R1y, R2x,R2y, R4x,R4y")

# Displacements:
u1 = Matrix([u1x, u1y])
u2 = Matrix([u2x, u2y])
u3 = Matrix([u3x, u3y])
u4 = Matrix([u4x, u4y])

# External Forces:
R1 = Matrix([R1x, R1y])
R2 = Matrix([R2x, R2y])
R4 = Matrix([R4x, R4y])

c, s = cos(beta), sin(beta)

cb, sb = symbols("cᵦ, sᵦ")
sub_list_shortcuts = [
   ( c,  cb ),
   ( s,  sb ),
   ]

F3 = Matrix([F*c, F*s])

# Unit Vectors:
e1 = Matrix([0, 1])
w5 = sqrt(5)
e2 = Matrix([2 / w5, 1 / w5])
e3 = Matrix([1, 0])

Zero = Matrix([0, 0])

# ---

eqns = []

# r = 6 Constraint Equations:
eqns.append( Eq(u1, Zero) ) 
eqns.append( Eq(u2, Zero) ) 
eqns.append( Eq(u4, Zero) ) 

# 2k = 8 Equilibrium Equations:
eqns.append( Eq(R1 + S1*e1, Zero) )
eqns.append( Eq(R2 + S2*e2, Zero) )
eqns.append( Eq(F3 - S1*e1 - S2*e2 - S3*e3, Zero) )
eqns.append( Eq(R4 + S3*e3, Zero) )

# s = 3 Kinematic Equations:
eqns.append( Eq(dl1, e1.dot(u3 - u1)) )
eqns.append( Eq(dl2, e2.dot(u3 - u2)) )
eqns.append( Eq(dl3, e2.dot(u3 - u4)) )

# s = 3 Elasticity Equations:
eqns.append( Eq(S1, EA * dl1 / a      ) )
eqns.append( Eq(S2, EA * dl2 / (w5*a) ) )
eqns.append( Eq(S3, EA * dl3 / (2*a)  ) )

# Unknowns:
unks = [
   S1,S2,S3,
   dl1,dl2,dl3,
   u1x,u1y,u2x,u2y,u3x,u3y,u4x,u4y,
   R1x,R1y,R2x,R2y,R4x,R4y
   ]

pprint("\nSolution (all zero-results suppressed):")
sol = solve(eqns, unks)
for s in sorted(sol, key=default_sort_key):
   tmp = sol[s]
   if tmp != 0:
      pprint("\n")
      s = str(s)
      pprint(str(s)+":")
      tmp = tmp.simplify()
      tmp = tmp.subs(sub_list_shortcuts)
      pprint(tmp)

pprint("\nu3y / mm:")
printout(sol[u3y], unit=mm, prec=3, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.