2.2.A

Gegeben

Spannungstensor-Komponenten:

\[\begin{split}\sigma_{\bar x \bar x}(\varphi= 45 ^\circ) &= 6 \, \mathrm{Pa} \\ \tau_{\bar x \bar y}(\varphi= 45 ^\circ)&= 3 \, \mathrm{Pa} \\ \tau_{\bar x \bar y}(\varphi= 30 ^\circ) &= \left(2 + \tfrac{3 \sqrt{3}}{2}\right)\, \mathrm{Pa}\end{split}\]

Berechnen Sie die Komponenten \((\sigma_{xx}, \tau_{xy}, \sigma_{yy})\). Gehen Sie wie folgt vor:

a) Sinus und Kosinus

Füllen Sie nachfolgende Tabelle aus mit ungerundeten Werten:

\(\varphi\)	\(2 \varphi\)	\(s_{2\varphi}\)	\(c_{2\varphi}\)
\(30^\circ\)
\(45^\circ\)

Lösung

\(\varphi\)	\(2\varphi\)	\(s_{2\varphi}\)	\(c_{2\varphi}\)
\(30^\circ\)	\(60^\circ\)	\(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\tfrac{1}{2}\)
\(45^\circ\)	\(90^\circ\)	\(1\)	\(0\)

b) Gleichungssystem

Werten Sie die Formeln der Passiven Transformation für die gegebenen Winkel aus.

Formeln „Passive Transformation“

\begin{align} \label{trafo_tensor_eq_passive_matrix} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \tag{PT} \end{align}

mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).

Mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\) ist (PT) dasselbe wie:

\begin{align} T_{\bar x \bar x} &= \bar{T} + \tilde T c_{2\varphi} + T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.1}\\ T_{\bar x \bar y} &= - \tilde T s_{2\varphi} + T_{xy} c_{2\varphi} \tag{PT.2}\\ T_{\bar y \bar y} &= \bar{T} - \tilde T c_{2\varphi} - T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.3}\\ \end{align}

Warum dreht man um den doppelten Winkel?

1. Den Punkt auf dem Kreis, der zum Winkel \(\varphi\) gehört und an dem man die transformierten Komponenten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x\bar y})\) abliest, findet man durch Drehung des dunkelgrauen Pfeils, der vom Kreis-Mittelpunkt zum Punkt bei null Grad gehört.

2. Und am Punkt gegenüber liest man \((T_{\bar y \bar y}, - T_{\bar x\bar y})\) ab.

Warum ist das so?

(PT.1) und (PT.2) anders notiert:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} \\ T_{\bar x \bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Der dunkelgraue Pfeil mit den Komponenten \(( \tilde T, T_{xy} )\) aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha = -2\varphi\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi\) gehört.

(PT.3) und (PT.2) anders notiert:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar y \bar y} \\ - T_{\bar x\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_{\alpha'} & -s_{\alpha'} \\ s_{\alpha'} & c_{\alpha'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Der dunkelgraue Pfeil aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha' = - 2 \varphi - 180^\circ\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi+ 90^\circ\) gehört.

Stellen Sie damit 3 Gleichungen auf für die gesuchten Komponenten \((\sigma_{xx}, \tau_{xy}, \sigma_{yy})\).

Lösung

\[\begin{split}\tau_{\bar x \bar y}(30 ^\circ) = \left( 2 + \tfrac{3 \sqrt{3}}{2} \right)\, \mathrm{Pa} &= - \tfrac12( \sigma_{xx} - \sigma_{yy}) \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tau_{xy}\tfrac{1}{2} \\ \sigma_{\bar x \bar x}(45 ^\circ)= 6 \, \mathrm{Pa} &= \tfrac{\sigma_{xx} + \sigma_{yy}}{2} + \tau_{xy}\\ \tau_{\bar x \bar y}(45 ^\circ) = 3 \, \mathrm{Pa} &= -\tfrac12(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})\end{split}\]

c) Lösung

Berechnen Sie die Komponenten \((\sigma_{xx}, \tau_{xy}, \sigma_{yy})\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\sigma_{xx} &= -1\, \mathrm{Pa} \\ \tau_{xy}&= 4 \, \mathrm{Pa} \\ \sigma_{yy} &= 5 \, \mathrm{Pa}\end{split}\]

Lösung

Die 3 Gleichungen durch die Einheit \(\mathrm{Pa}\) (Pascal) dividiert und Definition von:

\[\begin{split}T_{xx} &= \tfrac{\sigma_{xx}}{\mathrm{Pa}} \\ T_{xy} &= \tfrac{\sigma_{xy}}{\mathrm{Pa}} \\ T_{yy} &= \tfrac{\sigma_{yy}}{\mathrm{Pa}}\end{split}\]

liefert folgende Gleichungen:

\[\begin{split}\left( 2 + \tfrac{3 \sqrt{3}}{2} \right) &= - \tfrac12( T_{xx} - T_{yy}) \tfrac{\sqrt{3}}{2} + T_{xy}\tfrac{1}{2} \\ 6 &= \tfrac{T_{xx} + T_{yy}}{2} + T_{xy}\\ 3 &= -\tfrac12(T_{xx} -T_{yy})\end{split}\]

Dies ist ein lineares Gleichungssystem bestehend aus 3 Gleichungen zur Berechnung von 3 Unbekannten.

Lösung:

\[\begin{split}T_{xx} &= -1 \\ T_{xy} &= 4 \\ T_{yy} &= 5 \\\end{split}\]

d) Verzerrungen

Für diese \((\sigma_{xx}, \tau_{xy}, \sigma_{yy})\): Berechnen Sie die Verzerrungen:

\[\begin{split}\varepsilon_{xx} &= \tfrac 1 E \left(\sigma_{xx} - \nu \sigma_{yy} \right) \\ \varepsilon_{yy} &= \dots \\ \gamma_{xy} &= \dots\end{split}\]

ohne zu runden für folgende Größen:

\[\begin{split}E&= 1000 \, \mathrm{Pa} \\ \nu &= 0{,}1 \\ G &= \tfrac{E}{2(1+\nu)}\end{split}\]

Lösung

Hooke:

\[\begin{split}\varepsilon_{xx} &= \tfrac 1 E \left(\sigma_{xx} - \nu \sigma_{yy} \right) \\ &= \tfrac{1}{1000}(-1 - 0{,}1 \cdot 5)\\ &= -0{,}0015 \\ \varepsilon_{yy} &= \tfrac{1}{E}(\sigma_{yy} - \nu \sigma_{xx})\\ &= \tfrac{1}{1000}(5 + 0{,}1 \cdot 1)\\ &= 0{,}0051 \\ \gamma_{xy} &= \tfrac{1}{G}\tau_{xy}\\ &= \tfrac{2(1+\nu)}{E}\tau_{xy}\\ &= \tfrac{2{,}2}{1000}4\\ &=0{,}0088\end{split}\]

e) Größte Normalspannung

Für diese \((\sigma_{xx}, \tau_{xy}, \sigma_{yy})\): Berechnen Sie die größte Normalspannung \(\sigma_{\mathsf{max}}\):

\[\sigma_{\mathsf{max}} = \bar \sigma + R\]

mit:

\[\begin{split}\bar \sigma &= \tfrac12 \left(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}\right) \\ R &= \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(\sigma_{xx}-\sigma_{yy}\right)\right\}^2 + \tau_{xy}^2}\end{split}\]

Lösung

Verwenden der Definitionen für \(\bar \sigma\) und \(R\):

\[\begin{split}\bar \sigma &= \tfrac12 \left(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}\right) \\ &= 2\, \mathrm{Pa} \\ R &= \sqrt{\left\{ \tfrac12 \left(\sigma_{xx}-\sigma_{yy}\right)\right\}^2 + \tau_{xy}^2} \\ &= 5\, \mathrm{Pa}\end{split}\]

ergibt:

\[\begin{split}\sigma_{\mathsf{max}} &= \bar \sigma + R \\ &= 7 \, \mathrm{Pa}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

(p1, p2)   = ( 30 *deg, 45 *deg)

(s30, s45) = ( sin(2*p1), sin(2*p2) )
(c30, c45) = ( cos(2*p1), cos(2*p2) )

# Variables:
sx, sy, txy = symbols('sx, sy, txy')

# Shortcuts:
pls = sx + sy
mns = sx - sy

# Given:
tau30 = (2 + 3*sqrt(3)/2) * Pa
sig45 = 6 *Pa
tau45 = 3 *Pa

# Equations:
eqns = [
    Eq(tau30 ,       - mns/2*s30 + txy*c30),
    Eq(sig45 , pls/2 + mns/2*c45 + txy*s45),
    Eq(tau45 ,       - mns/2*s45 + txy*c45)
    ]

unknowns=[sx, txy, sy]
sol = solve(eqns, unknowns)

sx=sol[sx]
txy=sol[txy]
sy=sol[sy]

pprint("\n(sxx, txy, syy) / Pa:")
pprint(sx/Pa)
pprint(txy/Pa)
pprint(sy/Pa)

E = 1000*Pa
nu = S(1)/10
G = E/2/(1+nu)
ex = S(1)/E*(sx - nu*sy)
ey = S(1)/E*(sy - nu*sx)
gam = S(1)/G*txy

pprint("\nexx, eyy, gamxy:")
for x in [ex, ey, gam]:
    tmp = x
    tmp = iso_round(tmp, 8)
    pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

3. Play: Knopf ▶ drücken.