2.2.B

Gegeben

Größen:

\[\begin{split}F &= 500 \, \mathrm{N} \\ A &= 1 \, \mathrm{mm}^2\end{split}\]

Eine Scheibe mit Querschnittsfläche \(A\) erleidet einen ebenen Spannungszustand.
Eine Kraft \(F\) wirkt am linken und rechten Rand und erzeugt eine Spannung in \(x\)-Richtung.

a) Schnitt

Schneiden Sie die Scheibe an der gestrichelten Linie in zwei Teile, sodass zwei Schnittflächen sichtbar werden. Bestimmen Sie dann den Winkel \(-180^\circ < \varphi \le 180^\circ\), sodass die Schnittfläche am rechten Teil ein positives Schnittufer ist für \((\bar x, \bar y)\).

Lösung

b) Spannungen auf der Schnittfläche

Berechnen Sie die Normalspannung \(\sigma_{\bar x \bar x}\) und die Schubspannung \(\tau_{\bar x \bar y}\) auf dieser Schnittfläche. Verwenden Sie die dimensionslosen Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{\mathrm{MPa}} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \tfrac{1}{\mathrm{MPa}} \begin{bmatrix} \sigma_{\bar x \bar x} & \sigma_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{\bar y\bar y} \end{bmatrix}\end{split}\]

Formeln „Passive Transformation“

\begin{align} \label{trafo_tensor_eq_passive_matrix} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \tag{PT} \end{align}

mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).

Mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\) ist (PT) dasselbe wie:

\begin{align} T_{\bar x \bar x} &= \bar{T} + \tilde T c_{2\varphi} + T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.1}\\ T_{\bar x \bar y} &= - \tilde T s_{2\varphi} + T_{xy} c_{2\varphi} \tag{PT.2}\\ T_{\bar y \bar y} &= \bar{T} - \tilde T c_{2\varphi} - T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.3}\\ \end{align}

Warum dreht man um den doppelten Winkel?

Den Punkt auf dem Kreis, der zum Winkel \(\varphi\) gehört und an dem man die transformierten Komponenten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x\bar y})\) abliest, findet man durch Drehung des dunkelgrauen Pfeils, der vom Kreis-Mittelpunkt zum Punkt bei null Grad gehört.
Und am Punkt gegenüber liest man \((T_{\bar y \bar y}, - T_{\bar x\bar y})\) ab.

Warum ist das so?

(PT.1) und (PT.2) anders notiert:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} \\ T_{\bar x \bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Der dunkelgraue Pfeil mit den Komponenten \(( \tilde T, T_{xy} )\) aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha = -2\varphi\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi\) gehört.

(PT.3) und (PT.2) anders notiert:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar y \bar y} \\ - T_{\bar x\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_{\alpha'} & -s_{\alpha'} \\ s_{\alpha'} & c_{\alpha'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Der dunkelgraue Pfeil aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha' = - 2 \varphi - 180^\circ\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi+ 90^\circ\) gehört.

Setzen Sie \(\varphi = 150^\circ\) ein. Zeigen Sie, dass die Spannungen in \(\mathrm{MPa}\) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\) sind:

\[\begin{split}\sigma_{\bar x \bar x} &= 375\,\mathrm{MPa} \\ \tau_{\bar x \bar y} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}216{,}51 \, \mathrm{MPa}\end{split}\]

Lösung

Spannungstensor-Komponenten bzgl. \((x,y)\)-System:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac F A & 0 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 500 & 0 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix} \,\mathrm{MPa}\end{split}\]

Dimensionslose Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 500 & 0 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Passive Transformation mit \(\varphi=150^\circ\) führt auf:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 375 & 125 \sqrt 3 \\ \mathsf{sym} & 125 \end{bmatrix}\end{split}\]

Und darum sind die Spannungen auf der Schnittfläche:

\[\begin{split}\sigma_{\bar x \bar x} &= 375\,\mathrm{MPa} \\ \tau_{\bar x \bar y} &= 125 \sqrt 3\,\mathrm{MPa} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}216{,}51 \,\mathrm{MPa}\end{split}\]

c) Winkel-Abhängigkeit

Füllen Sie folgende Tabelle aus mit Werten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\):

\(\varphi\)	\(T_{\bar x\bar x}=\sigma_{\bar x \bar x} \, / \, \mathrm{MPa}\)	\(T_{\bar x\bar y}=\tau_{\bar x \bar y} \, / \, \mathrm{MPa}\)
\(0^\circ\)	\(500\)	\(0\)
\(30^\circ\)
\(60^\circ\)
\(90^\circ\)
\(120^\circ\)
\(150^\circ\)	\(375\)	\(216{,}51\)

Zeichnen Sie den Mohr’schen Kreis.

Lösung

\(\varphi\)	\(T_{\bar x \bar x}=\sigma_{\bar x \bar x} \, / \, \mathrm{MPa}\)	\(T_{\bar x \bar y}=\tau_{\bar x \bar y} \, / \, \mathrm{MPa}\)
\(0^\circ\)	\(500\)	\(0\)
\(30^\circ\)	\(375\)	\(-216{,}51\)
\(60^\circ\)	\(125\)	\(-216{,}51\)
\(90^\circ\)	\(0\)	\(0\)
\(120^\circ\)	\(125\)	\(216{,}51\)
\(150^\circ\)	\(375\)	\(216{,}51\)

Tensor Transformation

d) Vergleichsspannung

Berechnen Sie die Mises-Vergleichsspannung \(\sigma_V\) auf zwei Wegen:

aus den \((x,y)\)-Komponenten des Spannungstensors:

\[\begin{split}\sigma_V &= \sqrt{\sigma_{xx}^2- \sigma_{xx}\sigma_{yy}+ \sigma_{yy}^2+3\tau_{xy}^2} \\ &= \ldots\end{split}\]
aus den \((\bar x,\bar y)\)-Komponenten des Spannungstensors für \(\varphi=90^\circ\):

\[\begin{split}\sigma_V &= \sqrt{\sigma_{\bar x\bar x}^2- \sigma_{\bar x\bar x}\sigma_{\bar y\bar y}+ \sigma_{\bar y\bar y}^2+3\tau_{\bar x\bar y}^2} \\ &= \ldots\end{split}\]

Lösung

Laut Aufgabenstellung ist:

\[\left(\sigma_{xx}, \tau_{xy}, \sigma_{yy} \right)=\left(500, 0, 0\right)\,\mathrm{MPa}\]

Dies führt auf:

\[\begin{split}\sigma_V &= \sqrt{\sigma_{xx}^2- \sigma_{xx}\sigma_{yy}+ \sigma_{yy}^2+3\tau_{xy}^2} \\ &=\sqrt{500^2}\,\mathrm{MPa} \\ &= 500 \,\mathrm{MPa}\end{split}\]
Es ist:

\[\begin{split}\sigma_{\bar x \bar x}(90^\circ)&= 0 \\ \tau_{\bar x \bar y}(90^\circ)&= 0 \\ \sigma_{\bar y \bar y}(90^\circ)&= \sigma_{\bar x \bar x}(180^\circ) \\ &= 500 \,\mathrm{MPa}\end{split}\]

Dies führt auch auf:

\[\sigma_V = 500 \,\mathrm{MPa}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import shape, eye, sympify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Output precision:
prec = 2

# Tensor Transformatin:
def print_angle(angle):
    tmp = angle
    tmp /= deg
    tmp = iso_round(tmp,prec)
    print(tmp,end="")
    print(" deg:")
    
def get_R(angle, passive=True):
    c, s = cos(angle), sin(angle)
    R = Matrix([[c, s],[-s, c]])
    if passive:
        print("\nPassive Transformation ", end="")
        print_angle(angle)
        return R
    else:
        print("\nActive Transformation ", end="")
        print_angle(angle)
        return R.transpose()

# Mises:
def get_3d(T):
    T = T.row_insert(2,Matrix([[0,0]]))
    T = T.col_insert(2,Matrix([[0],[0],[0]]))
    return T

def get_Mises(T):
    """
    https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises_yield_criterion
    """
    if shape(T)==(2,2):
        T = get_3d(T)
    assert shape(T) == (3,3)
    tr = T.trace()
    id = eye(3)
    Tdev = T - tr/3*id
    tmp = Tdev.norm()
    tmp *= sqrt(sympify(3)/2)
    return tmp

# ---

pprint("\n3D:")
pprint("\nT / MPa:")
(Txx, Txy, Txz, Tyy, Tyz, Tzz) = (500,0,0,0,0,0)
T = Matrix([
    [Txx, Txy, Txz],
    [Txy ,Tyy, Tyz],
    [Txz ,Tyz, Tzz],
    ])
pprint(T)


pprint("\nMises Equivalent Stress / MPa:")
tmp = get_Mises(T)
pprint(tmp)

pprint("\n2D:")
(Txx, Txy, Tyy) = (500, 0, 0)
T = Matrix([
    [Txx, Txy],
    [Txy ,Tyy]
    ])
pprint(T)

# Tensor Transformation:
phi = 150 * deg
R = get_R(phi, passive=True)

pprint("\nT\u0304 / MPa:")
tmp = R*T*R.transpose()
pprint(tmp)

pprint("\nMises Equivalent Stress / MPa:")
tmp = get_Mises(tmp)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.