Berechnen Sie die dimensionslosen transformierten Komponenten gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass für \(\varphi = 30^\circ\) gilt:
mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).
Mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\) ist (PT) dasselbe wie:
\begin{align}
T_{\bar x \bar x} &= \bar{T} + \tilde T c_{2\varphi} + T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.1}\\
T_{\bar x \bar y} &= - \tilde T s_{2\varphi} + T_{xy} c_{2\varphi} \tag{PT.2}\\
T_{\bar y \bar y} &= \bar{T} - \tilde T c_{2\varphi} - T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.3}\\
\end{align}
Warum dreht man um den doppelten Winkel?
Den Punkt auf dem Kreis, der zum Winkel \(\varphi\) gehört und an dem man die transformierten Komponenten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x\bar y})\) abliest, findet man durch Drehung des dunkelgrauen Pfeils, der vom Kreis-Mittelpunkt zum Punkt bei null Grad gehört.
Und am Punkt gegenüber liest man \((T_{\bar y \bar y}, - T_{\bar x\bar y})\) ab.
Der dunkelgraue Pfeil mit den Komponenten \(( \tilde T, T_{xy} )\)aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha = -2\varphi\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi\) gehört.
Der dunkelgraue Pfeil aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha' = - 2 \varphi - 180^\circ\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi+ 90^\circ\) gehört.
\begin{align}
T_{\bar x \bar x} &= \bar{T} + \tilde T c + T_{xy} s \\
&\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} 1 \\
T_{\bar x \bar y} &= - \tilde T s + T_{xy} c \\
&\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} -1{,}73 \\
T_{\bar y \bar y} &= \bar{T} - \tilde T c - T_{xy} s \\
&\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} -1
\end{align}
Zu jedem Winkel \(\varphi\) lässt sich die zugehörige Normalspannung \(T_{\bar x \bar x}(\varphi)\) berechnen. Für einige \(\varphi\) ist \(T_{\bar x \bar x}\) größer, und für andere kleiner. Ermitteln Sie die unter allen \(\varphi\)maximale und die unter allen \(\varphi\)minimale Normalspannung:
\[\begin{split}\max T_{\bar x \bar x}
&\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \ldots \\
\min T_{\bar x \bar x}
&\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx} \ldots\end{split}\]
Prüfen Sie Ihr Ergebnis am Mohr’schen Kreis.
Berechnen Sie außerdem den zu \(\max T_{\bar x \bar x}\) gehörigen Winkel \(\varphi_1\) im Intervall \((-90^\circ, 90^\circ]\). Berechnen Sie also den Winkel, für den die Normalspannung maximal ist. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:
\[\begin{split}\max T_{\bar x \bar x} &= \bar T + r \\
&\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx}
2 \\
\min T_{\bar x \bar x} &= \bar T - r \\
&\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx}
-2 \\\end{split}\]
Zu jedem Winkel \(\varphi\) lässt sich die zugehörige Schubspannung \(T_{\bar x \bar y}(\varphi)\) berechnen. Für einige \(\varphi\) ist \(T_{\bar x \bar y}\) größer, und für andere kleiner. Ermitteln Sie die unter allen \(\varphi\)maximale Schubspannung:
\[\max T_{\bar x \bar y} = \ldots\]
Prüfen Sie Ihr Ergebnis am Mohr’schen Kreis.
Berechnen Sie außerdem den zu \(\max T_{\bar x \bar y}\) gehörigen Winkel \(\varphi_1-45^\circ\) im Intervall \((-135^\circ, 45^\circ]\). Berechnen Sie also den Winkel, für den die Schubspannung maximal ist. Zeigen Sie, dass:
\[\begin{split}\max T_{\bar x \bar y}
&= r \\
&\stackrel{\small{0{,}01}}{\approx}
2\end{split}\]
Am Mohr’schen Kreis erkennt man, dass der Winkel, für den die Schubspannung maximal ist, um 45 Grad kleiner ist, als der Winkel, für den die Normalspannung maximal ist.
