2.2.D

Gegeben

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} \\ \mathsf{sym} & \varepsilon_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -0{,}012 & -0{,}006 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

\(\boldsymbol \varepsilon\) ist der Verzerrungstensor.
Der Verzerrungstensor ist gegeben über 1. das grüne \((x, y)\)-System und 2. seine Komponenten, die sich auf dieses grüne System beziehen.

Um kürzer schreiben und weniger umständlich rechnen zu können, definiert man skalierte Komponenten (die gleich sind dem Hundertfachen der Verzerrungstensor-Komponenten), die sich auch auf das grüne \((x, y)\)-System beziehen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -1{,}2 & -0{,}6 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Diese skalierten Komponenten werden passiv transformiert. Dabei berechnet man Komponenten, die sich auf das blaue \((\bar x, \bar y)\)-System beziehen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \ldots & \ldots \\ \mathsf{sym} & \ldots \end{bmatrix}\end{split}\]

a) Kreis

Zeichnen Sie den Mohr’schen Kreis zum Ablesen der Komponenten \(T_{\bar x\bar x}\) und \(T_{\bar x\bar y}\) aus den Komponenten \((T_{xx}, T_{xy}, T_{yy})\). Verwenden Sie:

als horizontale Achse: \(T_{\bar x \bar x}\)
als vertikale Achse: \(T_{\bar x \bar y}\)

Lösung

Tensor Transformation

b) Geometrie

Berechnen Sie folgende drei Größen. Und zeigen oder erklären Sie am Mohr’schen Kreis, dass die von Ihnen berechneten drei Größen korrekt sind.

Die Position \(\bar T\) des Kreismittelpunkts auf der horizontalen Achse:

\[\begin{split}\bar{T} &= \tfrac12\left(T_{xx} + T_{yy}\right) \\ &= \ldots\end{split}\]
Den Anteil nach rechts eines Pfeils zwischen Kreismittelpunkt und \(P_{0^\circ}\):

\[\begin{split}\tilde{T} &= \tfrac12\left(T_{xx} - T_{yy}\right) \\ &= \ldots\end{split}\]
Den Kreisradius:

\[\begin{split}r &= \sqrt{{\tilde T}^2 +T_{xy}^2} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots \\\end{split}\]
Die maximale und die minimale Normalspannung:

\[\begin{split}\max T_{\bar x \bar x} &= \bar T + r \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots \\ \min T_{\bar x \bar x}&=\bar T - r \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots\end{split}\]
Die Winkelposition \(\varphi_1 \in (-90^\circ, 90^\circ]\), für die \(T_{\bar x \bar x} = \max T_{\bar x \bar x}\):

\[\begin{split}\varphi_1 &= \arctan{} \tfrac{T_{xy}}{T_{xx} - \min T_{\bar x \bar x}} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots^\circ\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\bar T &= \tfrac12\left(T_{xx} + T_{yy}\right) \\ &= - 0{,}6 \\ \tilde T &= \tfrac12\left(T_{xx} - T_{yy}\right) \\ &= - 0{,}6 \\ r &= \sqrt{{\tilde T}^2 +T_{xy}^2} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}85 \\ \max T_{\bar x \bar x} &= \bar T + r \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}25 \\ \min T_{\bar x \bar x}&=\bar T - r \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -1{,}45 \\ \varphi_1 &= \arctan{} \tfrac{T_{xy}}{T_{xx} - \min T_{\bar x \bar x}} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -67{,}5^\circ\end{split}\]

c) Transformierte Komponenten

Berechnen Sie die in der Tabelle fehlenden Werte mit der Passiven Transformation.

Formeln „Passive Transformation“

\begin{align} \label{trafo_tensor_eq_passive_matrix} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} & T_{\bar x\bar y} \\ \mathsf{sym} & T_{\bar y\bar y} \end{bmatrix} = R_\varphi \begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} \\ \mathsf{sym} & T_{yy} \end{bmatrix} R_\varphi^{\mathsf T} \tag{PT} \end{align}

mit \(R_\varphi = \begin{bmatrix}c_\varphi & s_\varphi \\-s_\varphi & c_\varphi\end{bmatrix}\) und \(R_\varphi^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\varphi\).

Mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\) ist (PT) dasselbe wie:

\begin{align} T_{\bar x \bar x} &= \bar{T} + \tilde T c_{2\varphi} + T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.1}\\ T_{\bar x \bar y} &= - \tilde T s_{2\varphi} + T_{xy} c_{2\varphi} \tag{PT.2}\\ T_{\bar y \bar y} &= \bar{T} - \tilde T c_{2\varphi} - T_{xy} s_{2\varphi} \tag{PT.3}\\ \end{align}

Warum dreht man um den doppelten Winkel?

Den Punkt auf dem Kreis, der zum Winkel \(\varphi\) gehört und an dem man die transformierten Komponenten \((T_{\bar x \bar x}, T_{\bar x\bar y})\) abliest, findet man durch Drehung des dunkelgrauen Pfeils, der vom Kreis-Mittelpunkt zum Punkt bei null Grad gehört.
Und am Punkt gegenüber liest man \((T_{\bar y \bar y}, - T_{\bar x\bar y})\) ab.

Warum ist das so?

(PT.1) und (PT.2) anders notiert:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar x \bar x} \\ T_{\bar x \bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_\alpha & -s_\alpha \\ s_\alpha & c_\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Der dunkelgraue Pfeil mit den Komponenten \(( \tilde T, T_{xy} )\) aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha = -2\varphi\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi\) gehört.

(PT.3) und (PT.2) anders notiert:

\begin{align} \begin{bmatrix} T_{\bar y \bar y} \\ - T_{\bar x\bar y} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \bar{T} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_{\alpha'} & -s_{\alpha'} \\ s_{\alpha'} & c_{\alpha'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde T\\ T_{xy} \end{bmatrix} \end{align}

Der dunkelgraue Pfeil aktiv gedreht mit Drehwinkel \(\alpha' = - 2 \varphi - 180^\circ\) zeigt auf den Punkt, der zum Winkel \(\varphi+ 90^\circ\) gehört.

Füllen Sie die Tabelle. Verwenden Sie den Mohr’schen Kreis, um die berechneten Werte zu prüfen. Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Punkt	\(\varphi\)	\(T_{\bar x \bar x}\)	\(T_{\bar x \bar y}\)
\(P_{0^\circ}\)	\(0 ^\circ\)
\(P_{30^\circ}\)	\(30 ^\circ\)
\(P_{180^\circ}\)	\(180 ^\circ\)
\(P_{\varphi_1}\)	\(\varphi_1\)

Lösung

Punkt	\(\varphi\)	\(T_{\bar x \bar x}\)	\(T_{\bar x \bar y}\)
\(P_{0^\circ}\)	\(0 ^\circ\)	\(-1{,}2\)	\(-0{,}6\)
\(P_{30^\circ}\)	\(30 ^\circ\)	\(-1{,}42\)	\(0{,}22\)
\(P_{180^\circ}\)	\(180 ^\circ\)	\(0\)	\(0{,}6\)
\(P_{\varphi_1}\)	\(-67{,}50^\circ\)	\(0{,}25\)	\(0\)

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import atan
# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp


Txx, Txy, Tyy = -1.2, -0.6, 0.0

pprint("\nT̄:")
Tb = (Txx + Tyy)/2
tmp = Tb
pprint(iso_round(tmp, 2))

pprint("\nT̃:")
Tt = (Txx - Tyy)/2
tmp = Tt
pprint(iso_round(tmp, 2))

pprint("\nr:")
r = sqrt( ((Txx-Tyy)/2)**2 + Txy**2 )
tmp = r
pprint(iso_round(tmp, 2))

pprint("\nmax Txx, min Txx:")
maxT = Tt + r
tmp = maxT
pprint(iso_round(tmp, 2))

minT = Tt - r
tmp = minT
pprint(iso_round(tmp, 2))

pprint("\nφ₁ / deg:")
p1 = atan(Txy/(Txx-minT))
tmp = p1/deg
pprint(iso_round(tmp, 2))

pprint("\nTx̄x̄ and Tx̄ȳ for φ = 30°:")
phi = 30 * deg

c, s = cos(2*phi), sin(2*phi)

Txxb = Tb + Tt * c + Txy * s
Txyb = -Tt * s + Txy * c

tmp = Txxb
pprint(iso_round(tmp, 2))

tmp = Txyb
pprint(iso_round(tmp, 2))

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.