2.2.F
Gegeben
Es geht um zwei Tensoren:
Einen Spannungstensor mit seinen \((x,y)\)-Komponenten als gegebene Größen:
\[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ \mathsf{sym} & 5 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa}\end{split}\]Einen zweiten Spannungstensor mit seinen \((x,y)\)-Komponenten als gesuchte Größen:
\[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma'_{xx} & \tau'_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma'_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \ldots & \ldots \\ \mathsf{sym} & \ldots \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa}\end{split}\]Der zweite Tensor ist gedreht relativ zum ersten, und zwar um den Winkel \(\alpha\).
Die Umrechnung zwischen den Komponenten des ersten Tensors und denen des zweiten Tensors nennt man die Aktive Transformation.
Wenn der erste Tensor den Spannungszustand eines ersten Teilchens beschreibt: Dann beschreibt der zweite Tensor den Spannungszustand eines zweiten Teilchens für den Fall, dass dieses zweite Teilchen (und seine Beanspruchung) sich durch nichts vom ersten Teilchen (und seiner Beanspruchung) unterscheidet - außer darin, dass das zweite Teilchen (und seine Beanspruchung) um \(\alpha\) relativ zum ersten Teilchen (und seiner Belastung) gedreht ist.
Die beiden Teilchen unterscheiden sich also allein durch ihre Anordnung im Raum. Das zweite Teilchen ist gedreht relativ zum ersten. Und deshalb unterscheiden sich die beiden Tensoren auch nur in diesem einen Merkmal. Nämlich darin, dass der zweite Tensor relativ zum ersten gedreht ist.
Dass die Komponenten beider Tensoren interpretiert und gezeichnet werden können als Spannungen auf Schnittflächen parallel zu \(x\) und \(y,\) hat mit dem bisher Gesagten nichts zu tun. Sondern dies ist eine Besonderheit, die nur für den Spannungstensor gilt - und nicht für andere Tensoren.
Andere Beispiele für die Aktiven Transformation:
Ein erstes Teilchen bewegt sich (zu einem betrachteten Zeitpunkt) in eine bestimmte Richtung. Seine Geschwindigkeit sei der Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol v\). Der Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol v'\) eines zweiten Teilchens unterscheidet sich nur dadurch von dem des ersten Teilchens, dass das zweite Teilchen sich in eine andere Richtung bewegt als das erste, dass also der Vektor \(\boldsymbol v'\) eine andere Richtung hat als der Vektor \(\boldsymbol v\).
Oder: Der Trägheitstensor eines ersten Körpers sei \(\boldsymbol \Theta\). Der Trägheitstensor eines zweiten Körpers unterscheidet sich nur dadurch von der des ersten Körpers, dass der zweite Körper eine relativ zum ersten Körper gedrehte Lage hat. Sein Trägheitstensor ist \(\boldsymbol \Theta'\).
Verwenden Sie die dimensionslosen Komponenten:
und die Aktive Transformation von Tensor-Komponenten.
a) Winkel \(\alpha=20^\circ\)
Berechnen Sie die Komponenten des gedrehten Tensors für \(\alpha=20^\circ\), und zwar in \(\mathrm{Pa}\) (Pascal) und gerundet auf \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:
Definition von dimensionslosen Komponenten: „Aktive Transformation“ mit \(R_\alpha = \begin{bmatrix}c_\alpha & -s_\alpha \\s_\alpha & c_\alpha\end{bmatrix}\) und \(R_\alpha^{\mathsf T}\) als Transponierte von \(R_\alpha\). Mit den Abkürzungen \(\bar{T} = \tfrac12 \left(T_{xx} + T_{yy}\right)\) und \(\tilde T = \tfrac 12 \left( T_{xx} - T_{yy}\right)\) ist (AT) dasselbe wie: und damit:Lösung
b) Spezialfälle
Berechnen Sie die Komponenten des gedrehten Tensors noch für die folgenden zwei Beispiele, und prüfen Sie Ihre Ergebnisse am jeweils zugehörigen Mohr’schen Kreis.
\(\alpha = 90^\circ\) und \(\begin{bmatrix}\sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa}\)
\(\alpha = 10^\circ\) und \(\begin{bmatrix}\sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ \mathsf{sym} & 2 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa}\)
Einachsige Beanspruchung wie im Zugversuch in \(x\)-Richtung bzw. beim gedrehten Tensor in \(y\)-Richtung. \(\alpha = 90^\circ\) und
\(\begin{bmatrix}\sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ \mathsf{sym} & 0 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa} \leadsto \begin{bmatrix}\sigma'_{xx} & \tau'_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma'_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \mathsf{sym} & 4 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa}\) Beansprucht wie die Haut eines Luftballons, d.h. in alle Richtungen gleich stark unter Zug: \(\alpha = 10^\circ\) und \(\begin{bmatrix}\sigma_{xx} & \tau_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ \mathsf{sym} & 2 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa} \leadsto \begin{bmatrix}\sigma'_{xx} & \tau'_{xy} \\ \mathsf{sym} & \sigma'_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ \mathsf{sym} & 2 \end{bmatrix} \, \mathrm{Pa}\)Lösung
Source Code eines Programms dazu: Programm ausführen? Dazu: Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter Play: Knopf SymPy
from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
# Units:
N = kg*m/s**2
k, M, G = 10**3, 10**6, 10**9
kN = k*N
Pa = N/m**2
MPa, GPa = M*Pa, G*Pa
deg = pi/180
half = S(1)/2
cm = m/100
mm = m/1000
# Rounding:
def iso_round(x, pv):
try:
x = float(x)
tmp = round(x, pv)
except TypeError:
x = x.evalf()
from functools import partial
func = partial(round, ndigits = pv)
tmp = x.applyfunc(func)
return tmp
# ---
# Output precision:
prec = 2
def print_angle(angle):
tmp = angle
tmp /= deg
tmp = iso_round(tmp,prec)
print(tmp,end="")
print(" deg")
def get_R(angle, passive=True):
c, s = cos(angle), sin(angle)
R = Matrix([[c, s],[-s, c]])
if passive:
pprint("\nPassive Transformation with φ:")
print_angle(angle)
return R
else:
pprint("\nActive Transformation with α:")
print_angle(angle)
return R.transpose()
Txx, Txy, Tyy = -1, 4, 5
angle = 20*deg
# Txx, Txy, Tyy = 4, 0, 0
# angle = 90*deg
# Txx, Txy, Tyy = 2, 0, 2
# angle = 10*deg
pprint("\n(x,y)-Comp's of T:")
T = Matrix([
[Txx, Txy],
[Txy ,Tyy]
])
pprint(T)
R = get_R(angle, passive=False)
pprint("\n(x,y)-Comp's of T':")
tmp = R*T*R.transpose()
tmp = iso_round(tmp,prec)
pprint(tmp)
[ ]: einfügen.▶ drücken.