2.3.B

Gegeben

Symbole:

\[E, \nu, \alpha, \Delta T\]

Eine elastische Scheibe \((E, \nu, \alpha)\) passt spannungsfrei genau zwischen vier starre Wände.
Ausgehend von dieser Lage wird die Temperatur erhöht um \(\Delta T\).
Es gibt keine Reibung. und keine Beschleunigungen.
Die Kräfte verteilen sich gleichmäßig auf die Seitenflächen.
Jedes Teilchen der Scheibe erleidet denselben Spannungs- und Verzerrungszustand (homogene Beanspruchung).
Es gibt keine Spannungen in z-Richtung (ebener Spannungszustand).

Untersuchen Sie die Struktur. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Gegebene Komponenten

Begründen Sie, dass:

\[\begin{split}\varepsilon_{xx}&= 0 \\ \varepsilon_{yy}&= 0\end{split}\]

Lösung

Der Verzerrungszustand sein homogen.

Eine Faser in x-Richtung hat unbelastet und belastet dieselbe Länge, sodass \(\varepsilon_{xx}=0\).
Eine Faser in y-Richtung hat unbelastet und belastet dieselbe Länge, sodass \(\varepsilon_{yy}=0\).

b) Gesuchte Komponenten

Verwenden Sie die gegebenen Komponenten und das Hookesche Gesetz. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\sigma_{xx} &= \tfrac{E \alpha \Delta T}{\nu - 1} \\ \sigma_{yy} &= \tfrac{E \alpha \Delta T}{\nu - 1}\end{split}\]

Lösung

Sei die Wärmedehnung \(\epsilon\) definiert als:

\[\epsilon = \alpha \Delta T\]

Hookesches Gesetz 3D:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} -\epsilon \\ \varepsilon_{yy} -\epsilon \\ \varepsilon_{zz} -\epsilon \\ 2\varepsilon_{yz} \\ 2\varepsilon_{xz} \\ 2\varepsilon_{xy} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{1}{E} & - \tfrac{\nu}{E} & - \tfrac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0\\ & \tfrac{1}{E} & - \tfrac{\nu}{E} & 0 & 0 & 0\\ & & \tfrac{1}{E} & 0 & 0 & 0\\ & & & \tfrac{2 \left(\nu + 1\right)}{E} & 0 & 0\\ & & & & \tfrac{2 \left(\nu + 1\right)}{E} & 0\\ \mathsf{sym} & & & & & \tfrac{2 \left(\nu + 1\right)}{E} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{zz} \\ \tau_{yz} \\ \tau_{xz} \\ \tau_{xy} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Die ersten drei Zeilen dieses Gleichungssystems lauten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} -\epsilon \\ \varepsilon_{yy} -\epsilon \\ \varepsilon_{zz} -\epsilon \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{1}{E} & - \tfrac{\nu}{E} & - \tfrac{\nu}{E}\\ & \tfrac{1}{E} & - \tfrac{\nu}{E}\\ \mathsf{sym} & & \tfrac{1}{E} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{zz} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Es gibt keine Spannungen in \(z\)-Richtung, sodass \(\sigma_{zz}=0\). Damit lauten die ersten beiden dieser drei Gleichungen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} -\epsilon \\ \varepsilon_{yy} -\epsilon \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{1}{E} & - \tfrac{\nu}{E} \\ \mathsf{sym} & \tfrac{1}{E} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Und mit \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=0\) und nach Vertauschen der Seiten liefert das:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \tfrac{1}{E} & - \tfrac{\nu}{E} \\ \mathsf{sym} & \tfrac{1}{E} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -\epsilon \\ -\epsilon \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Dies sind zwei Gleichungen zur Berechnung der zwei Unbekannten \(\sigma_{xx}, \sigma_{yy}\) (Lineares Gleichungssystem). Lösung wie behauptet:

\[\begin{split}\sigma_{xx} &= \tfrac{E \epsilon}{\nu - 1} \\ \sigma_{yy} &= \tfrac{E \epsilon}{\nu - 1}\end{split}\]

c) Spannungen für gegebene Größen

Für folgende gegebenen Größen:

\[\begin{split}\alpha \cdot \Delta T &= 10^{-6} \,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 25 \, \mathrm{K} \\ E &= 200 \, \mathrm{GPa} \\ \nu &= 0{,}25\end{split}\]

Berechnen Sie \(\sigma_{xx}\) und \(\sigma_{yy}\) in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal). Zeigen Sie, dass gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\) gilt:

\[\sigma_{xx} = \sigma_{yy} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -6{,}67 \,\mathrm{MPa}\]

Lösung

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\[\sigma_{xx} = \sigma_{yy} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -6{,}67 \,\mathrm{MPa}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s, K
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

E, nu = symbols("E, nu")
e = symbols("ϵ")
sxx, syy = symbols("σxx, σyy")

# ε_xx = ε_yy = 0:
eq1 = Eq(sxx - nu * syy, 0 - E*e  )
eq2 = Eq(syy - nu * sxx, 0 - E*e  )

eqns = [eq1, eq2]
unks = [sxx, syy]
sol = solve(eqns, unks)
pprint(sol)

sxx, syy = sol[sxx], sol[syy]

# Substitutions:
sub_list=[
    (  E,         200        *GPa  ),
    ( nu,      S(25)/100           ),
    (  e,  S(1)/1000000 / K * 25*K ),
    ]

pprint("\nσxx / MPa: ")
sxx = sxx.subs(sub_list)
tmp = sxx
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

pprint("\nσyy / MPa: ")
syy = syy.subs(sub_list)
tmp = syy
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.