2.3.C

Gegeben

../../../_images/2.3.C.png — Undeformierte Lage (blau) und deformierte Lage (rot).

Symbole:

\(F\): An den Seitenflächen gleichmäßig verteilt wirkende Kraft.
\((h, b, t)\): Höhe, Breite und Dicke des undeformierten Quaders.
\((h', b')\): Höhe und Breite des aufgrund der Kraft deformierten Quaders.

a) Gegebene Spannungstensor-Komponenten

Geben Sie die Spannungstensor-Komponenten \(\sigma_{xx}, \sigma_{yy}\) und \(\sigma_{zz}\) an , und zwar abhängig von den gegebenen Symbolen.

Lösung

\[\begin{split}\sigma_{xx} &= \tfrac{F}{ht} \\ \sigma_{yy} &= 0 \\ \sigma_{zz} &= 0\end{split}\]

b) Gegebene Verzerrungstensor-Komponenten

Geben Sie die Verzerrungstensor-Komponenten \(\varepsilon_{xx}\) und \(\varepsilon_{yy}\) an , und zwar abhängig von den gegebenen Symbolen.

Lösung

\[\begin{split}\varepsilon_{xx} &= \tfrac{b'-b}{b} \\ \varepsilon_{yy} &= \tfrac{h'-h}{h}\end{split}\]

c) Elastizität / Gleichungssystem

Verwenden Sie das Hookesche Gesetz. Berechnen Sie \(E\) und \(\nu\) abhängig von den gegebenen Symbolen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}E &= \tfrac{F b}{h t \left(b' - b\right)} \\ \nu &= - \tfrac{\tfrac{h' - h}{h}}{\tfrac{b' - b}{b}}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\varepsilon_{xx} &= \tfrac{1}{E} \left\{ \sigma_{xx}- \nu \left( \sigma_{yy} + \sigma_{zz}\right) \right\} \\ \varepsilon_{yy} &= \tfrac{1}{E} \left\{ \sigma_{yy}- \nu \left( \sigma_{xx} + \sigma_{zz}\right) \right\}\end{split}\]

Einsetzen der Komponenten liefert:

\[\begin{split}\tfrac{b'-b}{b} &= \tfrac{F}{E h t} \\ \tfrac{h'-h}{h} &= - \nu \tfrac{F}{E h t}\end{split}\]

Dies ist ein lineares Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen zur Berechnung der zwei Unbekannten \(E\) und \(\nu\). Lösung:

\[\begin{split}E &= \tfrac{F b}{h t \left(b' - b\right)} \\ \nu &= - \tfrac{\tfrac{h' - h}{h}}{\tfrac{b' - b}{b}}\end{split}\]

d) Lösung für gegebene Größen

Berechnen Sie \(E\) in \(\mathrm{GPa}\) (Gigapascal) und \(\nu\) für folgende Größen:

\begin{align*} h &= 20 \, \mathrm{mm} & h' &= 19{,}9 \, \mathrm{mm}\\ b &= 40 \, \mathrm{mm} & b' &= 40{,}5 \, \mathrm{mm}\\ t &= 1 \, \mathrm{mm} & & \\ F &= 10 \, \mathrm{kN} & & \end{align*}

Lösung

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\[\begin{split}E &= 40\,\mathrm{GPa} \\ \nu &= 0{,}4\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# ---

# Capital Letters = Undeformed Configuration:
F = symbols("F")
H, B, T = symbols("h, b, t")
h, b  = symbols("h', b'")

# Variables:
E, nu = symbols('E, nu')

# Stress:
s = F / (H*T)

# equations:
# e_xx = 1/E s_xx
# e_yy = 1/E (- nu * s_xx)
eq1 = Eq( (b-B) / B, s / E )
eq2 = Eq( (h-H) / H, - nu * s / E  )
sol = solve([eq1, eq2], [E, nu])

E = sol[E]
nu = sol[nu]

pprint("\nE:")
pprint(E)
pprint("\nυ:")
pprint(nu)

# sub_list = [
#     (H,  30 *mm),
#     (B, 100 *mm),
#     (T, 1 *mm),
#     (h,  S(2995)/100 *mm),
#     (b, S(10050)/100 *mm),
#     (F, 6 *kilo*newton),
# ]

sub_list = [
    (H, 20 *mm),
    (B, 40 *mm),
    (T, 1 *mm),
    (h,  199 *mm / 10),
    (b,  405 *mm / 10),
    (F, 10 *kN),
]

pprint("\nE / GPa:")
tmp = E.subs(sub_list)
tmp /= GPa
pprint(tmp)

pprint("\nυ:")
nu = nu.subs(sub_list)
pprint(nu)

Programm ausführen? Dazu:

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