2.3.D

Gegeben

Undeformierte Lage (blau) und deformierte Lage (rot).

Symbole:

\[(a, b), \,(u_{1x}, u_{1y}), \, (u_{2x}, u_{2y})\]

Ansatz für das Verschiebungsfeld:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} c_{0} + c_{1} x + c_{2} y \\ d_{0} + d_{1} x + d_{2} y \end{bmatrix}\end{split}\]

Der Ansatz definiert einen „homogenen Verzerrungszustand“. D.h. der Ansatz stellt sicher, dass jedes Teilchen der Scheibe denselben Verzerrungszustand erleidet.

a) Parameter-Anpassung

Berechnen Sie die sechs Konstanten \((c_{0}, c_{1}, c_{2}, d_{0}, d_{1}, d_{2})\). Verwenden Sie Randbedingungen, nämlich die folgenden Aussagen über die Verschiebungen der Teilchen O, 1 und 2 (am Rand).

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_x(x=0, y=0) \\ u_y(x=0, y=0) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_x(x=a, y=0) \\ u_y(x=a, y=0) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} u_x(x=0, y=b) \\ u_y(x=0, y=b) \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung

Die sechs Aussagen bilden ein lineares Gleichungssystem zur Berechnung der sechs Unbekannten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} c_{0} &= 0 \\ d_{0} &= 0 \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} a c_{1} + c_{0} &= u_{1x} \\ a d_{1} + d_{0} &= u_{1y} \\ \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} b c_{2} + c_{0} &= u_{2x} \\ b d_{2} + d_{0} &= u_{2y} \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

Lösung:

\[\begin{split}\left( c_{0}, c_{1}, c_{2}\right) &= \left( 0, \tfrac{u_{1x}}{a}, \tfrac{u_{2x}}{b}\right) \\ \left( d_{0}, d_{1}, d_{2}\right) &= \left( 0, \tfrac{u_{1y}}{a}, \tfrac{u_{2y}}{b}\right) \\\end{split}\]

sodass:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \tfrac{u_{1x}}{a} x + \tfrac{u_{2x}}{b} y \\ \tfrac{u_{1y}}{a} x + \tfrac{u_{2y}}{b} y \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

b) Verschiebungen und Verzerrungen

Verwenden Sie das Verschiebungsfeld:

\[\begin{split}u_x &= \tfrac{u_{1x}}{a} x + \tfrac{u_{2x}}{b} y \\ u_y &= \tfrac{u_{1y}}{a} x + \tfrac{u_{2y}}{b} y \\\end{split}\]

Berechnen Sie die Verzerrungen, welche definiert sind als:

\[\begin{split}\varepsilon_{xx}&=\tfrac{\partial u_x}{\partial x} = \dots \\ \varepsilon_{yy}&=\tfrac{\partial u_y}{\partial y} = \dots \\ \gamma_{xy} &= \tfrac{\partial u_y}{\partial x} + \tfrac{\partial u_x}{\partial y} = \dots \\\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\varepsilon_{xx}&= \tfrac{u_{1x}}{a} \\ \varepsilon_{yy}&= \tfrac{u_{2y}}{b} \\ \gamma_{xy} &= \tfrac{u_{1y}}{a} + \tfrac{u_{2x}}{b}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000


# ---

x, y = symbols("x, y")
c0, c1, c2 = symbols("c0, c1, c2")
d0, d1, d2 = symbols("d0, d1, d2")

a, b = symbols("a, b")
u1x, u1y = symbols("u1x, u1y")
u2x, u2y = symbols("u2x, u2y")

unks = [c0, c1, c2, d0, d1, d2]

ux = c0 + c1*x + c2*y
uy = d0 + d1*x + d2*y

# equations:
eq1 = Eq( 0, ux.subs([(x, 0), (y,0)]) )
eq2 = Eq( 0, uy.subs([(x, 0), (y,0)]) )
eq3 = Eq( u1x, ux.subs([(x, a), (y,0)]) )
eq4 = Eq( u1y, uy.subs([(x, a), (y,0)]) )
eq5 = Eq( u2x, ux.subs([(x, 0), (y,b)]) )
eq6 = Eq( u2y, uy.subs([(x, 0), (y,b)]) )

eqns = [eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6]
sol = solve(eqns, unks)

# Substitutions:
sub_list=[
    (c0, sol[c0]),
    (c1, sol[c1]),
    (c2, sol[c2]),
    (d0, sol[d0]),
    (d1, sol[d1]),
    (d2, sol[d2]),
    ]

ux = ux.subs(sub_list)
uy = uy.subs(sub_list)

exx = diff(ux, x)
eyy = diff(uy, y)
gxy = diff(uy,x) + diff(ux,y)

pprint("\n(εxx, εyy, γxy):")
pprint(exx)
pprint(eyy)
pprint(gxy)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.