2.4.1.A

Gegeben

Symbol \(b\).

Außerdem gegeben die Schwerpunkt-Position (siehe 1.4.1.C):

\[\bar z_S=\tfrac 9 4 b\]

Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy}\). Gehen Sie wie folgt vor:

a) Tabelle

Teilen Sie die Gesamtfläche in Teilflächen 1, 2, … . Und berechnen Sie dann für jede der Teilflächen:

das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy}\) bzgl. Teilflächen-Schwerpunkt
die \(z\)-Position \(d_z\) des Teilflächen-Schwerpunkts
den Flächeninhalt \(A\)
den Steiner-Anteil \(d_z^2 A\)

Berechnen Sie dann die Summen \(\Sigma_I\) und \(\Sigma_S\).

	\(I_{yy}\)	\(d_z\)	\(A\)	\(d_z^2 A\)
1	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
2	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)	\(\dots\)
	\(\Sigma_I\)			\(\Sigma_S\)

Lösung

	\(I_{yy}\)	\(d_z\)	\(A\)	\(d_z^2 A\)
1	\(\tfrac{1}{12}2b (3b)^3\)	\(\tfrac 1 4 b\)	\(6 b^2\)	\(\tfrac{6}{16} b^4\)
2	\(\tfrac{1}{12}3b b^3\)	\(- \tfrac 3 4 b\)	\(3 b^2\)	\(\tfrac{27}{16}b^4\)
3	\(\tfrac{1}{12}2b b^3\)	\(\tfrac 5 4 b\)	\(2 b^2\)	\(\tfrac{50}{16}b^4\)
4	\(\tfrac{1}{12}b b^3\)	\(- \tfrac 7 4 b\)	\(1 b^2\)	\(\tfrac{49}{16}b^4\)
	\(5 b^{4}\)			\(\tfrac{33}{4} b^{4}\)

b) Lösung für Symbole

Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy}=\Sigma_I + \Sigma_S\) des Gesamt-Querschnitts bezogen auf den Gesamt-Schwerpunkt. Zeigen Sie, dass:

\[I_{yy} = \tfrac{53}{4} b^{4}\]

Lösung

\[\begin{split}I_{yy} &= \Sigma_I + \Sigma_S \\ &= 5 b^{4} + \tfrac{33}{4} b^{4} \\ &= \tfrac{53}{4} b^{4}\end{split}\]

b) Lösung für Größen

Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy}\) der Gesamtfläche bezogen auf den Gesamt-Schwerpunkt für \(b=2\,\mathrm{mm}\). Zeigen Sie, dass:

\[I_{yy} = 212 \,\mathrm{mm}^4\]

Lösung

\[\begin{split}I_{yy} &= \tfrac{53 b^{4}}{4} \\ &= \tfrac{53\cdot 16}{4} \,\mathrm{mm}^4 \\ &= 212 \,\mathrm{mm}^4\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

b = symbols("b")

pprint("\nΣ Iyy:")
sum_I = b**4/12 * Matrix([54, 3, 2, 1])
sum_I = sum(sum_I)
pprint(sum_I)

pprint("\nΣ dy² A:")
A =  b**2 * Matrix([6, 3, 2, 1])
dy = b * Matrix([1, -3, 5, -7])/4
dy2 = dy.multiply_elementwise(dy)
sum_S = dy2.multiply_elementwise(A)
sum_S = sum(sum_S)
pprint(sum_S)

pprint("\nIyy:")
Iyy = sum_I + sum_S
pprint(Iyy)

pprint("\nIyy / mm⁴:")
tmp = Iyy.subs(b,2 *mm)
tmp /= mm**4
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.