2.4.1.B

Gegeben

Symbole:

\[s, d\]

Berechnen Sie die Flächenträgheitsmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) einer Kreisfläche mit sechseckigem Ausschnitt. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Flächenträgheitsmomente aus Literatur

Verwenden Sie Werte aus der Literatur für das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy+}\) der Kreisfläche und das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy-}\) der Sechseckfläche. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}I_{yy+} &= \tfrac{\pi}{64}d^4 \\ I_{yy-} &= \tfrac{5 \sqrt 3}{16}a^4 \\\end{split}\]

Zeigen Sie, dass Sie in der Literatur auch die Information finden, dass diese Werte gelten unabhängig von den Richtungen des Bezugssystems, sodass:

\[\begin{split}I_{yy+} &= I_{zz+} \\ I_{yy-} &= I_{zz-} \\\end{split}\]

Lösung

Wikipedia-Artikel zu Flächenträgheitsmoment liefert:

\[\begin{split}I_{yy+} = I_{zz+} &= \tfrac{\pi}{64}d^4 \\ I_{yy-} = I_{zz-} &= \tfrac{5 \sqrt 3}{16}a^4\end{split}\]

b) Flächenträgheitsmomente für Symbole

Zeigen Sie, dass:

\[a^4 = \tfrac{s^4}{9}\]

Und zeigen Sie damit, dass:

\[I_{yy-} = I_{zz-} = \tfrac{5 \sqrt 3}{144}s^4\]

Lösung

\(a\) abhängig von \(s\) berechnen:

\[\begin{split}\cos 30^\circ &= \tfrac{\tfrac{s}{2}}{a} \\ \\ a&= \tfrac{s}{2 \cos 30^\circ} \\ &= \tfrac{s}{\sqrt 3} \\ \\ a^4 &= \tfrac{s^4}{\sqrt{3}^4} \\ &= \tfrac{s^4}{9}\end{split}\]

\(a^4 = \tfrac{s^4}{9}\) einsetzen liefert:

\[\begin{split}I_{yy-} = I_{zz-} &= \tfrac{5 \sqrt 3}{16}a^4 \\ &= \tfrac{5 \sqrt 3}{16}\tfrac{s^4}{9} \\ &= \tfrac{5 \sqrt 3}{144}s^4\end{split}\]

c) Gesamt-Flächenträgheitsmoment

Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy}\) bzw. \(I_{zz}\) der Kreisfläche mit dem sechseckigem Ausschnitt.

\[I_{yy} = I_{zz} = \dots\]

und prüfen Sie die Einheit im Ergebnis. Zeigen Sie, dass:

\[[I_{yy}] =\mathrm{m}^4\]

Lösung

Insgesamt:

\[\begin{split}I_{yy} = I_{zz} &= I_{yy+} - I_{yy-} \\ &= \tfrac{\pi}{64}d^4 - \tfrac{5 \sqrt 3}{144}s^4\end{split}\]

\([d]=[s]=\mathrm{m}\) sodass \([d^4 ]=[s^4]=\mathrm{m}^4\).