2.4.1.C
Gegeben
Gegebenes Symbol : \(d\) .
Gegebene Formeln :
\[\begin{split}W_y &= \tfrac{I_{yy}}{|z|_{\mathsf{max}}} \\
I_{yy} &= \tfrac{1}{12} b h^3\end{split}\]
Berechnen Sie das Verhältnis \(\tfrac b h\) , sodass \(W_y\) maximal wird. Gehen Sie wie folgt vor:
a) Widerstandsmoment
Berechnen Sie das Widerstandsmoment des Rechteckquerschnitts abhängig von \(b\) und \(h\) . Zeigen Sie, dass:
\begin{align} \label{eq-2.4.1.C-1}
W_y(b,h)
= \tfrac16 b h^2 \tag{1}
\end{align}
Lösung
Für das Rechteck ist:
\[\begin{split}W_y(b,h)
&= \tfrac{\tfrac{1}{12} b h^3}{|z|_{\mathsf{max}}} \\
&= \tfrac16 b h^2\end{split}\]
b) Variables b
Satz von Pythagoras:
\[h^2 = d^2 - b^2\]
Setzen Sie dies ein in (1) \(W_y\) anzugeben, die nur von (variablen) \(b\) und dem gegebenen (festen) \(d\) abhängt, also:
\[W_y(b, d)
= \dots\]
Lösung
\[\begin{split}h^2
&= d^2 - b^2 \\
\\
W_y(b, d)
&= \tfrac16 b (d^2 - b^2 )\\
&= \tfrac16 ( b d^2 - b^3)\end{split}\]
c) Optimale Breite
Für gegebenes \(d\) und variables \(b\) lässt sich eine optimale Breite \(b^*\) berechnen. Diese Breite ist diejenige Breite, für die \(W_y\) maximal wird. Notwendige Bedingung dafür, dass \(W_y\) extremal ist, ist:
\[W_y'(b=b^*) = 0\]
Zeigen Sie, dass:
\[b^*= \tfrac{\sqrt3}{3} d\]
Lösung
\[\begin{split}W_y'&= 0 \\
d^2 - 3 {b^*}^2 &= 0 \\
b^* &= \tfrac{\sqrt3}{3}d\end{split}\]
d) Zweite Ableitung
Zeigen Sie, dass auch:
\[W_y''(b^*)< 0\]
sodass das Widerstandsmoment für \(b=b^*\) tatsächlich maximal ist.
Lösung
\[\begin{split}W_y''
&= \left(\tfrac16 (d^2 - 3 b^2 ) \right)' \\
&= \tfrac16 (- 6 b ) \\
&= - b \\
W_y''(b=b^*)
&=
- \tfrac{\sqrt3}{3}d < 0\end{split}\]
e) Optimales Verhältnis
Berechnen Sie das zugehörige \(h^*\) und das Verhältnis \(\tfrac{b^*}{h^*}\) . Berechnen Sie \(h^*\) exakt (ohne zu runden) - und das Verhältnis \(\tfrac{b^*}{h^*}\) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}001\) :
\[\begin{split}h^*&= \\
\tfrac{b^*}{h^*}&\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}\end{split}\]
Lösung
\[\begin{split}{h^*}^2 &= d^2 - {b^*}^2 \\
&= d^2 - \tfrac39 d^2 \\
&= \tfrac23 d^2 \\
{h^*} &= \sqrt{\tfrac23} d \\
\\
\tfrac {b^*} {h^*}
&= \tfrac{\tfrac{\sqrt3}{3}}{\sqrt{\tfrac23}} \\
&= \tfrac{\sqrt2}{2} \\
&\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} 0{,}707\end{split}\]
