2.4.1.F

Gegeben

Symbol: \(t\)

Berechnen Sie \(I_{yy}\).

Lösung auf einer Seite

../../../../_images/all.X9.png — Schwerpunkt-Position links, Flächenträgheitsmoment rechts: 1: Einteilung in Teilflächen. 2: \(\bar z\)-Positionen der Teilflächen-Schwerpunkte. 3: Tabelle mit Flächeninhalten der Teilflächen. 4: \(z\)-Positionen \(d_z\) der Teilflächen-Schwerpunkte. 5: Satz von Steiner.

a) Schwerpunkt

Zeigen Sie, dass für die Schwerpunkt-Position \(\bar z_S\) gilt:

\[\bar z_S = \tfrac 5 4 t\]

Lösung

b) Flächenträgheitsmoment

Teilen Sie die Gesamtfläche in Teilflächen 1, 2, … . Und berechnen Sie dann für jede der Teilflächen:

das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy}\) bzgl. Teilflächen-Schwerpunkt
die \(z\)-Position \(d_z\) des Teilflächen-Schwerpunkts
den Flächeninhalt \(A\)
den Steiner-Anteil \(d_z^2 A\)

Zeigen Sie, dass für das Flächenträgheitsmoment des Gesamtfläche (bezogen auf den Gesamtschwerpunkt) gilt:

\[I_{yy} = \tfrac{37}{6} t^4\]

Lösung

c) Lösung für gegebene Größen

Berechnen Sie \(I_{yy}\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) für \(t = 2 \,\mathrm{mm}\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Und zeigen Sie, dass:

\[I_{yy} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 98{,}7 \, \mathrm{mm}^4\]

Lösung

Einsetzen von \(t=2 \,\mathrm{mm}\) liefert:

\[\begin{split}I_{yy} &= \tfrac{37}{6} t^4 \\ &= \tfrac{37}{6} 2^4 \,\mathrm{mm}^4 \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 98{,}7 \, \mathrm{mm}^4\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

t = symbols("t")

sub_list=[
    (t, 2 *mm),
    ]

pprint("\nzS:")
(A1, A2, A3) = (2*t*t, 2*t*t, 4*t*t)
(z1, z2, z3) = (2*t, 2*t, t/2)
zS = z1*A1 + z2*A2 + z3*A3
A = A1 + A2 + A3
zS /= A
pprint(zS)

Iy1 = t * (2*t)**3 / 12
Iy2 = Iy1
Iy3 = 4*t * t**3 / 12

pprint("\nIyy:")
Iy =  Iy1 + (z1-zS)**2*A1
Iy += Iy2 + (z2-zS)**2*A2
Iy += Iy3 + (z3-zS)**2*A3
pprint(Iy)

pprint("\nIyy / mm:")
tmp = Iy.subs(sub_list)
tmp = tmp/mm**4
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.