2.4.1.I

Gegeben

Es geht um einen Querschnitt, der aus sehr schmalen Rechtecken zusammengesetzt ist. Die Längen der Rechtecke lassen sich in der Skizze ablesen. Und die Breiten \(t\) der Rechtecke sind:

\(t=1\,\mathrm{cm}\) bei den 4 Rechtecken oben und
\(t=2 \,\mathrm{cm}\) bei den 2 Rechtecken unten.

../../../../_images/2.4.1.I.png — Maße in \(\mathrm{cm}\) (Zentimeter)

Berechnen Sie die Komponenten \(I_{\tilde y\tilde y}\) und \(I_{\tilde z\tilde z}\) des Flächenträgheitstensors des Gesamt-Querschnitts bezogen auf den Gesamt-Flächenmittelpunkt.
Vernachlässigen Sie Terme der Ordnung \(t^2\) und \(t^3\).

a) Flächenmittelpunkt

Zeigen Sie, dass der Flächenmittelpunkt liegt auf der Position:

\[s \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 22{,}2156\,\mathrm{cm}\]

Lösung

\[\begin{split}s &= 10\,\mathrm{cm} \tfrac{0 \cdot 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \sqrt 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1 + (2 + 2{,}5\tfrac 3 5 )\cdot 5\cdot 2}{4+ 2 \sqrt 2 + 2 + 10} \\ &= 10\,\mathrm{cm} \cdot 2{,}2215571618\ldots \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 22{,}2156\,\mathrm{cm}\end{split}\]

b) Grün

Berechnen Sie für jeden der 4 dargestellten Querschnitte den jeweiligen Flächenträgheitstensor.

Der Bezugspunkt sei der Flächenmittelpunkt des jeweiligen Querschnitts.
Das Bezugssystem sei das grüne System im jeweiligen Flächenmittelpunkt.

Zeigen Sie dass:

Bezugssystem: **Grün**
Teil- querschnitt	\(I_{yy} \, / \, \mathrm{cm}^4\)	\(I_{yz} \, / \, \mathrm{cm}^4\)	\(I_{zz} \, / \, \mathrm{cm}^4\)
1	\(\tfrac{16000}{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}5333\)	\(0\)	\(0\)
2	\(\tfrac{4000 \sqrt 2 }{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}1886\)	\(0\)	\(0\)
3	\(\tfrac{2000}{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}667\)	\(0\)	\(0\)
4	\(\tfrac{62500}{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}20833\)	\(0\)	\(0\)

Lösung

Ein Zwölftel mal Breite mal Höhe hoch drei. Teilquerschnitt 1:

\[\begin{split}I_{yy} &= \tfrac{1}{12} \cdot 1\, \mathrm{cm} \cdot \left(40\, \mathrm{cm}\right)^3 \\ &= \tfrac{16000}{3}\, \mathrm{cm}^4 \\ I_{yz} &= 0 \\ I_{zz} &= \tfrac{1}{12} \cdot 40\, \mathrm{cm} \cdot \left(1\, \mathrm{cm}\right)^3 \\ &\approx 0 \\\end{split}\]

c) Orange

Berechnen Sie für jeden der 4 dargestellten Querschnitte noch einmal den jeweiligen Flächenträgheitstensor - aber jetzt andere Komponenten desselben Tensors.

Der Bezugspunkt sei, wie vorher, der Flächenmittelpunkt des jeweiligen Querschnitts.
Das Bezugssystem sei das orangefarbene System im jeweiligen Flächenmittelpunkt. D.h. die Bezugsachsen seien dieselben wie beim blauen Bezugssystem.
Der Winkel, um den das jeweilige orangefarbene System relativ zum jeweiligen grünen System gedreht ist, sei \(\phi\).

Bezugssystem: **Orange**
Teil- querschnitt	\(\varphi\)	\(I_{\bar y \bar y} \, / \, \mathrm{cm}^4\)	\(I_{\bar z \bar z} \, / \, \mathrm{cm}^4\)
1	\(90^\circ\)	\(0\)	\(\tfrac{16000}{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}5333\)
2	\(-45^\circ\)	\(\tfrac{2000 \sqrt{2}}{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}943\)	\(\tfrac{2000 \sqrt{2}}{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}943\)
3	\(90^\circ\)	\(0\)	\(\tfrac{2000}{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}667\)
4	\(\arctan \tfrac 4 3\)	\(7500\)	\(\tfrac{40000}{3}\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}13333\)

Lösung

Das orangefarbene System ist gedreht um \(\varphi\) relativ zum grünen. Passive Transformation mit den Abkürzungen \(\bar{I} = \tfrac12 \left(I_{yy} + I_{zz}\right)\) und \(\tilde I = \tfrac 12 \left( I_{yy} - I_{zz}\right)\) liefert:

\[\begin{split}I_{\bar y \bar y} &= \bar{I} + \tilde I c_{2\varphi} + I_{yz} s_{2\varphi} \\ I_{\bar z \bar z} &= \bar{I} - \tilde I c_{2\varphi} - I_{yz} s_{2\varphi}\end{split}\]

Einsetzen von \(I_{zz}=I_{yz}=0\) liefert \(\bar{I} = \tfrac12 I_{yy}\) und \(\tilde I = \tfrac 12 I_{yy}\) und damit:

\begin{align} I_{\bar y \bar y} &= \tfrac 12 I_{yy} (1 + c_{2\varphi}) \\ I_{\bar z \bar z} &= \tfrac 12 I_{yy} (1 - c_{2\varphi}) \end{align}

Teilquerschnitt 1:

\[\begin{split}I_{\bar y \bar y} &= \tfrac 12 \tfrac{16000}{3}\, \mathrm{cm}^4 (1 + c_{180^\circ}) \\ &= \tfrac 12 \tfrac{16000}{3}\, \mathrm{cm}^4 (1 - 1) \\ &= 0 \\ \\ I_{\bar z \bar z} &= \tfrac 12 \tfrac{16000}{3}\, \mathrm{cm}^4 (1 - c_{180^\circ}) \\ &= \tfrac 12 \tfrac{16000}{3}\, \mathrm{cm}^4 (1 + 1) \\ &= \tfrac{16000}{3}\, \mathrm{cm}^4 \\\end{split}\]

d) Blau

Berechnen Sie für jeden der 4 dargestellten Querschnitte noch einmal einen Flächenträgheitstensor, aber einen anderen. Denn jetzt soll der Bezugspunkt ein anderer sein:

Der Bezugspunkt sei, bei jedem der Teilquerschnitte, der Gesamt-Flächenmittelpunkt.
Das Bezugssystem sei das blaue System.

Berechnen Sie auch die Summe dieser Flächenträgheitstensoren, nämlich den Flächenträgheitstensor des Gesamt-Querschnitts bezogen auf den Gesamt-Flächenmittelpunkt.

Zeigen Sie dass:

Bezugssystem: **Blau**
Teil- querschnitt	\(I_{\tilde y \tilde y} \, / \, \mathrm{cm}^4\)	\(I_{\tilde z \tilde z} \, / \, \mathrm{cm}^4\)
1	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}19741\)	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}21333\)
2	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}5163\)	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}26399\)
3	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}98\)	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}2667\)
4	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}23844\)	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}173333\)
\(\sum\)	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}48847\)	\(\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx}223732\)

Lösung

Satz von Steiner. Teilquerschnitt 1:

\[\begin{split}I_{\tilde y \tilde y} &= I_{\bar y \bar y} + d_{1\tilde z}^2 A_1 \\ I_{\tilde z \tilde z} &= I_{\bar z \bar z} + d_{1\tilde y}^2 A_1\end{split}\]

Hierbei gilt:

\(A_1\) ist die Querschnittsfläche von Teilquerschnitt 1.
\(d_{1\tilde z}\) ist die \(\tilde z\)-Komponente des roten Vektors \(\boldsymbol d_1\).
\(d_{1\tilde y}\) ist die \(\tilde y\)-Komponente dieses Vektors.

Hinweis

Aufgrund der Symmetrie, d.h. weil bisher nur die linke Hälfte betrachtet wurde, gilt für den Gesamt-Querschnitt:

\[\begin{split}I_{\bar y \bar y} &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 97694 \, \mathrm{cm}^4 \\ I_{\bar z \bar z} &\stackrel{\scriptscriptstyle{1{,}0}}{\approx} 447464 \, \mathrm{cm}^4\end{split}\]

Anmerkungen

Ein Bezugssystem besteht aus zwei Basisvektoren. Hier wurde das ein blaues Bezugssystem definiert sowie 4 orangefarbene Bezugssysteme. Diese 5 Bezugssysteme sind aber identisch, weil ihre Basisvektoren gleich sind. Die zusätzlichen orangefarbenen Bezugssysteme wurden nur definiert und gezeichnet, um die Abhängigkeit der Tensor-Komponenten vom Bezugspunkt hervorzuheben.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

import pickle

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import atan, latex

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

p1, p2, p3, p4 = 90*deg, -45*deg, 90*deg, atan(S(4)/3)
y1, y2, y3, y4 = 20, 30, 10, 40
z1, z2, z3, z4 = 0, 10, 20, 35
t1, t2, t3, t4 = 1, 1, 1, 2
l1, l2, l3, l4 = 40, 20*sqrt(2), 20, 50 

pl = [p1, p2, p3, p4]
yl = [y1, y2, y3, y4]
zl = [z1, z2, z3, z4]
tl = [t1, t2, t3, t4]
ll = [l1, l2, l3, l4]

A, zA = [], []
for z, t, l in zip(zl, tl, ll):
    A.append(t*l)
    zA.append(t*l*z)
pprint("\ns / cm:")
s = sum(zA)/sum(A)
printout(s, unit=1, prec=4, sub_list=[])

Jyy, Jzz = [], []
dzA, dyA = [], []
for p, y, z, t, l in zip(pl, yl, zl, tl, ll):
    Jbar = t*l**3/S(24)
    c2 = cos(2*p)
    Jyy.append(Jbar*(1+c2))
    Jzz.append(Jbar*(1-c2))
    dz2 = (s - z)**2
    dy2 = (0 - y)**2
    dzA.append(dz2*t*l)
    dyA.append(dy2*t*l)

pprint("\nJyy / cm⁴:")
tmp = sum(Jyy) + sum(dzA)
tmp *= 2
printout(tmp, unit=1, prec=1, sub_list=[])

pprint("\nJzz / cm⁴:")
tmp = sum(Jzz) + sum(dyA)
tmp *= 2
printout(tmp, unit=1, prec=1, sub_list=[])

# Save to database:
db = {
    "pl": pl, 
    "yl": yl, 
    "zl": zl, 
    "tl": tl, 
    "ll": ll, 
    "s":  s,
    }db = pickle.load(open( "../db.pickle", "rb" ) )

ts = db["ts"]
a = db["a"]
v = db["v"]
x = db["x"]


pickle.dump(db, open("db.pickle", "wb"))

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.