2.4.2.A

Gegeben

Symbole:

\[a, q, F, E, I\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 3\, \mathrm{m} \\ q &= 3\, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\ F &= 10 \,\mathrm{kN} \\ E &= 200 \,\mathrm{GPa} \\ I &= 6500 \,\mathrm{cm}^4\end{split}\]

a) Biegesteifigkeit

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Biegesteifigkeit \(B\) in \(\mathrm{kNm}^2\):

\[B = EI = \dots \,\mathrm{kNm}^2\]

Lösung

\[B = 13000 \,\mathrm{kNm}^2\]

b) Biegemoment

Seien definiert die folgenden zwei Funktionen:

\(M_F = - F x\): Moment aufgrund \(F\)
\(M_q = - \tfrac12 q x^2\): Moment aufgrund \(q.\)

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie mit einem Freischnitt, dass:

\[M(x) = M_F + M_q\]

Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie ein Diagramm mit:

\(M_F\) in \(\mathrm{kNm}\) (Kilonewtonmeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter)
\(M_q\) in \(\mathrm{kNm}\) (Kilonewtonmeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter)
\(M = M_F + M_q\) in \(\mathrm{kNm}\) (Kilonewtonmeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter)

Lösung

Für die gegebenen Symbole: Gleichgewichtsbedingungen:

\[M(x) = - F x - \tfrac12 q x^2\]

Bokeh Plot

c) Querverschiebung

Seien die folgenden zwei Funktionen definiert:

\(w_F= \tfrac{F a^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left( \tfrac x a \right) + \left( \tfrac x a \right)^3 \right\}\): Verschiebung aufgrund \(F\)
\(w_q= \tfrac{q a^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left( \tfrac x a \right) + \left( \tfrac x a \right)^4 \right\}\): Verschiebung aufgrund \(q.\)

Die Gesamt-Querverschiebung \(w\) sei gegeben als:

\[w = w_F + w_q\]

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\[w(0\,\mathrm{m}) = \tfrac{a^{3}}{E I} \left\{\tfrac 1 3 F + \tfrac 1 8 q a\right\}\]

Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie ein Diagramm mit:

\(w_F\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter)
\(w_q\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter)

Lösung

Für die gegebenen Symbole: Einsetzen von \(\tfrac x a = 0\) führt auf:

\[\begin{split}w (x) &= w_F + w_q \\ w(0\,\mathrm{m}) &= \tfrac{F a^3}{6 E I}\cdot 2 + \tfrac{q a^4}{24 E I}\cdot 3 \\ &= \tfrac{a^{3}}{E I} \left\{\tfrac 1 3 F + \tfrac 1 8 q a\right\}\end{split}\]

Bokeh Plot

Tipps für's Zeichnen

\(w_F(0\,\mathrm{m}) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 6{,}92\,\mathrm{mm}\)
\(w_q(0\,\mathrm{m}) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}34\,\mathrm{mm}\)
\(w_F'(a) = 0\)
\(w_q'(a) = 0\)
\(M=-EI w''\) ist streng monoton. wobei \(w''\) näherungsweise die Krümmung des Graphen von \(w\) ist.
Am linken Rand ist \(w''=0\).

d) Neigungswinkel

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\psi(0\,\mathrm{m}) &= -w' (0\,\mathrm{m}) \\ &= \tfrac{a^2}{6 EI}\left(3 F + q a \large\right)\end{split}\]

Lösung

Für die gegebenen Symbole: Ableiten von \(w_F\) und \(w_q\):

\[\begin{split}w_F' &= \tfrac{F a^2}{6 E I}\left\{ - 3 + 3 \left( \tfrac x a \right)^2 \right\} \\ w_q' &= \tfrac{q a^3}{24 E I}\left\{ - 4 + 4 \left( \tfrac x a \right)^3 \right\}\end{split}\]

Einsetzen von \(x=0\,\mathrm{m}\):

\[\begin{split}\psi(0\,\mathrm{m}) &= - w'(0\,\mathrm{m}) \\ &= - w_F'(0\,\mathrm{m}) - w_q'(0\,\mathrm{m})\\ &= 3 \tfrac{F a^2}{6 E I} + 4 \tfrac{q a^3}{24 E I} \\ &= \tfrac{a^2}{6 EI}\left(3 F + q a \large\right)\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

a, q, F, E, I = symbols('a, q, F, E, I')

sub_list = [
    (a,    3   *m     ),
    (q,    3   *kN/m  ),
    (F,   10   *kN    ),
    (E,  200   *GPa   ),
    (I, 6500   *cm**4 ),
    ]

x = symbols("x")
xi = symbols("xi")

M = - F * x - q*x*x/2
pprint("\nM:")
pprint(M)

pprint("\nM(3 m) / kNm:")
tmp = M
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp = tmp.subs(x, 3*m)
tmp /= kN*m
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

# --- w ---
f_F = F*a**3/6/E/I
w_F = f_F*(2 - 3*xi + xi**3)
f_q = q*a**4/24/E/I
w_q = f_q*(3 - 4*xi + xi**4)
w = w_F +  w_q

pprint("\nw(0 m):")
tmp = w.subs(xi, 0)
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

w0 = tmp.subs(sub_list)
w0 = w0.simplify()
w0 /= mm

pprint("\nΨ(0 m):")
tmp = -diff(w,xi) / a
tmp = tmp.subs(xi, 0)
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.