2.4.2.B

Gegeben

Symbole:

\[a, F, E, I\]

Berechnen Sie \(w(x=\tfrac{5a}2)\). Gehen Sie wie folgt vor:

a) Lagerreaktionen bei A

Berechnen Sie die Lagerreaktionen bei A.

Lösung

Gleichgewicht:

\begin{align*} \definecolor{myred}{rgb}{0.941, 0.067, 0.067} \rightarrow & & 0 &= A_h\\ \circlearrowright^{\color{myred}\circ}& & 0 &= 2 a F + 5 a A_v \end{align*}

Lösung:

\[\begin{split}A_h &= 0 \\ A_v &= - \tfrac 2 5 F\end{split}\]

b) Biegemoment

Berechnen Sie das Biegemoment \(M(x)\) im Bereich zwischen A und B:

\[M(x)= \ldots\]

und geben Sie den Definitionsbereich für \(x\) an:

\[\ldots < x < \ldots\]

Lösung

\[\begin{split}M(x) &= x A_v \\ &=-\tfrac 2 5 F x\end{split}\]

\[0 < x < 5 a\]

c) Integration und allgemeine Lösung

Integrieren Sie:

\[M = - EI w''\]

und berechnen Sie damit die allgemeine Lösung für den Bereich zwischen A und B:

\[w(x)= \dots\]

Lösung

Die Biege-Dgl. mit dem oben berechneten Biegemoment \(M(x)\) lautet:

\[\begin{split}M &= - EI w'' \\ - \tfrac 2 5 F x &= - EI w'' \\ EI w'' &= \tfrac 2 5 F x \\ w'' &= \tfrac{2}{5 EI} F x\end{split}\]

Integration liefert:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.B-A} w' &= \tfrac{1}{5 EI} F x^2 + C_1 \tag{i1} \\ w &= \tfrac{1}{15 EI} F x^3 + C_1 x + C_2 \tag{i2} \end{align}

Die letzte Gleichung ist die allgemeine Lösung.

d) Randbedingungen und spezielle Lösung

Berechnen Sie die zwei Integrationskonstanten durch Anpassung an die zwei Randbedingungen für \(w\). Und berechnen Sie die spezielle Lösung, nämlich die Querverschiebung im Bereich zwischen A und B:

\[w(x)= \dots\]

Lösung

Randbedingungen am linken Rand bei \(x=0\) und am rechten Rand bei \(x=5a\):

\begin{align} \label{eq-2.4.2.B-B} w(0) &=0 \tag{b1} \\ w(5a)&=0 \tag{b2} \end{align}

Einsetzen von (b1), (b2) in (i1), (i2) führt auf zwei Gleichungen, aus denen \(C_1\) und \(C_2\) berechnet werden können. Lösung:

\[\begin{split}C_1 &= - \tfrac{5 a^2}{3 EI} F \\ C_2 &= 0 \\\end{split}\]

Details

Die zwei Gleichungen sind:

\[\begin{split}w(0) &= \tfrac{1}{15 EI} F\cdot 0^3 + 0 \cdot C_1 + C_2 = 0 \\ w(5a) &= \tfrac{1}{15 EI} F \cdot 125 a^3 + 5 a \cdot C_1 + C_2 = 0\end{split}\]

Die ist ein lineares Gleichungssystem, aus dem \(C_1\) und \(C_2\) berechnet werden können.

Die berechneten Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) eingesetzt in die allgemeine Lösung (i2) ergibt die spezielle Lösung:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.B-S} w &= \tfrac{25 Fa^3}{3 EI} \left( \xi^3 - \xi \right) \\ \tag{1} \end{align}

mit der Abkürzung:

\[\xi = \tfrac{x}{5a}\]

e) Querverschiebung

Berechnen Sie:

\[w\left(x = \tfrac 5 2 a \right) = \dots\]

Prüfen Sie die Einheit. D.h. zeigen Sie, dass das Ergebnis die Einheit \(\mathrm{m}\) (Meter) hat.

Lösung

Einsetzen von \(x = \tfrac 5 2 a\) bzw. gleichbedeutend \(\xi = \tfrac 1 2\) in (1) liefert:

\[\begin{split}w\left(x = \tfrac 5 2 a \right) &= \tfrac{25 Fa^3}{3 EI} \left( \tfrac{1}{8} -\tfrac{1}{2} \right) \\ &= -\tfrac{25}{8} \tfrac{Fa^3}{EI}\end{split}\]

Einheitenkontrolle:

\[\begin{split}\left[\tfrac{F a^3}{EI}\right] &= \tfrac{\mathrm{N}\mathrm{m}^3}{\tfrac{\mathrm N}{\mathrm{m}^2}\mathrm m^4} \\ &= \mathrm m\end{split}\]

f) Querverschiebung für Größen

Berechnen Sie \(w\left(\tfrac 5 2 a \right)\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\) für die Größen:

\[\begin{split}a &= 0{,}4 \, \mathrm{m} \\ F &= 5 \, \mathrm{kN} \\ E &= 210 \,\mathrm{GPa} \\ I &= 26{,}5 \, \mathrm{cm}^4\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[w\left(x = \tfrac {5a}2\right) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} - 17{,}97\,\mathrm{mm}\]

Lösung

Einsetzen der Größen und Runden liefert die Behauptung.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

a, F, E, I = symbols("a, F, E, I")

sub_list = [
    ( a, S(4)/10 *m            ),
    ( F, 5 *kN                 ),
    ( E, 210 *GPa              ),
    ( I, (26 + S(5)/10) *cm**4 ),
    ]

# Bending stiffness
EI = E*I

x = symbols("x")

Av = - 2*F/5 
M = Av * x

C1, C2 = symbols("C1, C2")

pprint("\nw'':")
wpp = - M/EI
pprint(wpp)

pprint("\nw':")
wp = integrate(wpp,x) + C1
pprint(wp)

pprint("\nGeneral Solution")
pprint("w:")
w = integrate(wp,x) + C2
pprint(w)

eq1 = Eq(w.subs(x,0*a), 0)
eq2 = Eq(w.subs(x,5*a), 0)

sol = solve([eq1, eq2], [C1, C2])
sC1, sC2 = sol[C1], sol[C2]
pprint("\nC1, C2:")
pprint(sC1)
pprint(sC2)

pprint("\nParticular Solution:")
pprint("w / ( (25 Fa³) / (3 EI) ):")
xi = symbols("xi")
w = w.subs([(C1, sC1), (C2, sC2)])
tmp = w / ( 25*F*a**3 / (3*EI) )
tmp = tmp.simplify()
tmp = tmp.subs(x,xi*5*a)
pprint(tmp)

pprint("\nw(ξ = 1/2) / mm: ")
w = w.subs(x,5*a/2)
w = w.subs(sub_list)
tmp = w
tmp /= mm
pprint(tmp)
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.