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2.4.2.C

Gegeben

Symbole:

\[a, q, EI\]

Berechnen Sie die Querverschiebung und den Knickwinkel am Gelenk D. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Lösung

Lösung:

\[\begin{split}A_h &= 0 \\ A_v &= - q a\\ B_v &= \tfrac 5 2 q a \\ C_v &= \tfrac 1 2 q a \\ D_h &= 0 \\ D_v &= \tfrac 1 2 q a\end{split}\]

b) Biegemoment

Berechnen Sie die Momente in den drei Bereichen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}0 < x_1 < a&:\\ M_1 &= q a^2 \left\{ - \left( \tfrac{x_1}{a} \right) \right\} \\ 0 < x_2 < a&:\\ M_2 &= q a^2 \left\{ -1 + \tfrac32 \left( \tfrac{x_2}{a} \right) -\tfrac12 \left( \tfrac{x_2}{a}\right)^2 \right\} \\ 0 < x_3 < a&: \\ M_3 &= q a^2 \left\{ \tfrac12 \left( \tfrac{x_3}{a}\right) -\tfrac12 \left( \tfrac{x_3}{a}\right)^2 \right\}\end{split}\]

Zeichnen Sie:

\(\tfrac{M_1}{qa^2}\) über \(\xi_1\)
\(\tfrac{M_2}{qa^2}\) über \(\xi_2\)
\(\tfrac{M_3}{qa^2}\) über \(\xi_3\)

mit \(\left(\xi_1 = \tfrac{x_1}{a}, \xi_2 = \tfrac{x_2}{a}, \xi_3 = \tfrac{x_3}{a}\right).\)

Lösung

Einsetzen der zuvor berechneten Lagerreaktionen in aus den Gleichgewichtsbedingungen gewonnenen Aussagen für die Momente liefert:

\[\begin{split}\tfrac{M_1}{qa^2} &= - \left( \tfrac{x_1}{a}\right) \\ &= - \xi_1 \\ \\ \tfrac{M_2}{qa^2} &= -1 + \tfrac32 \left( \tfrac{x_2}{a} \right) -\tfrac12 \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^2 \\ &= -1 + \tfrac32 \xi_2 -\tfrac12 \xi_2^2 \\ \\ \tfrac{M_3}{qa^2} &= \tfrac12 \left( \tfrac{x_3}{a} \right) -\tfrac12 \left( \tfrac{x_3}{a} \right)^2 \\ &= \tfrac12 \xi_3 -\tfrac12 \xi_3^2\end{split}\]

Bokeh Plot

Hinweis

Auch die Verwendung von nur zwei Bereichen wäre möglich, denn Bereichsgrenzen müssen nur dort eingeführt werden, wo die zu berechnenden Funktionen unstetig sind.

\[\begin{split}0 < x_1 < a&: \\ M_1 &= q a^2 \left\{ - \left( \tfrac{x_1}{a} \right) \right\} \\ 0 < x_2 < 2a&:\\ M_2&= q a^2 \left\{ -1 + \tfrac32 \left( \tfrac{x_2}{a} \right) -\tfrac12 \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^2 \right\}\end{split}\]

Das Biegemoment zwischen D und C ist also sowohl:

\(M_2(x_2)\) für \(a<x_2< 2a\) wie:
\(M_3(x_3)\) für \(0<x_3< a\)

Die Funktionen \(M_2\) und \(M_3\) sind zwar verschieden, aber sie liefern an jeder Stelle zwischen D und C dieselben Funktionswerte. Beweis: Verwendung von math:x_2=a+x_3 liefert:

\[\begin{split}\tfrac{M_2(a + x_3)}{qa^2} &= -1 + \tfrac32 \left( \tfrac{a + x_3}{a} \right) -\tfrac12 \left( \tfrac{a + x_3}{a} \right)^2 \\ &= \dots \\ &= \tfrac12 \left( \tfrac{x_3}{a} \right) -\tfrac12 \left( \tfrac{x_3}{a} \right)^2 \\ &= \tfrac{M_3(x_3)}{qa^2}\end{split}\]

c) Integration und allgemeine Lösungen

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w_1 &= C_{1} a \xi_1 + C_{2} + \frac{qa^{4}}{EI}\tfrac 1 6 \xi_1^{3} \\ w_2 &= C_{3} a \xi_2 + C_{4} + \frac{q a^{4}}{EI}\left\{\frac{1}{24}\xi_2^{4} - \frac{1}{4}\xi_2^{3} + \frac{1}{2}\xi_2^{2}\right\} \\ w_3 &= C_{5} a \xi_3 + C_{6} + \frac{q a^{4}}{EI}\left\{\frac{1}{24}\xi_3^{4} - \frac{1}{12}\xi_3^{3}\right\}\end{split}\]

mit \(\left(\xi_1 = \tfrac{x_1}{a}, \xi_2 = \tfrac{x_2}{a}, \xi_3 = \tfrac{x_3}{a}\right).\)

Integrieren Sie dazu im Bereich 1 die Differentialgleichung \(w_1'' = - \tfrac{1}{EI} M_1\):

\[\begin{split}w_1'' &= - \tfrac{1}{EI} M_1 \\ w_1' &= - \tfrac{1}{EI} \int M_1 \, {\mathsf d}x + C_1 \\ w_1 &= \int w_1' \, {\mathsf d}x + C_2\end{split}\]

mit Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\).

Gehen Sie im Bereich 2 und 3 entsprechend vor.

Lösung

Einsetzen von \(M_1\) und integrieren liefert:

\[w_1' = C_{1} + \tfrac{a q x_1^{2}}{2 EI}\]

Integrieren hiervon liefert:

\[\begin{split}w_1 &= \int w_1' \,{\mathsf d}x + C_2 \\ &= C_{1} x_1 + C_{2} + \tfrac{a q x_1^{3}}{6 EI}\end{split}\]

Ersetzen von \(x_1\) durch \(a \xi_1\) liefert:

\[\begin{split}w_1 &= C_{1} a \xi_1 + C_{2} + \tfrac{a q a^{3} \xi_1^{3}}{6 EI} \\ &= C_{1} a \xi_1 + C_{2} + \frac{qa^{4}}{EI}\tfrac 1 6 \xi_1^{3} \\\end{split}\]

Entsprechendes für \(w_2\) und \(w_3\) ausführen liefert die in der Aufgabenstellung angegebenen Funktionen:

\[\begin{split}w_1 &= C_{1} a \xi_1 + C_{2} + \ldots \\ w_2 &= C_{3} a \xi_2 + C_{4} + \ldots\\ w_3 &= C_{5} a \xi_3 + C_{6} + \ldots\end{split}\]

d) Randbedingungen und spezielle Lösungen

Geben Sie 6 Randbedingungen für \(w\) und \(w'\) an, die bei A, B, D und C gelten. Berechnen Sie daraus die 6 Integrationskonstanten. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w_1 &= \tfrac{q a^4}{EI} \left\{ - \tfrac16 \xi_1 + \tfrac16 \xi_1^3 \right\} \\ w_2 &= \tfrac{q a^4}{EI} \left\{ \tfrac13 \xi_2 + \tfrac12 \xi_2^2 - \tfrac14 \xi_2^3 + \tfrac{1}{24} \xi_2^4 \right\} \\ w_3 &= \tfrac{q a^4}{EI} \left\{ \tfrac58 -\tfrac{7}{12} \xi_3 -\tfrac{1}{12} \xi_3^3 + \tfrac{1}{24} \xi_3^4 \right\}\end{split}\]

Lösung

Die Randbedingungen sind:

\[\begin{split}\mathsf A: \quad w_1(\xi_1=0) &= 0 \\ \\ \mathsf B: \quad w_1(\xi_1=1)&= 0 \\ w_2(\xi_2=0)&= 0 \\ w_1'(\xi_1=1)&= w_2'(\xi_2=0)\\ \\ \mathsf D: \quad w_2(\xi_2=1)&= w_3(\xi_3=0) \\ \\ \mathsf C: \quad w_3(\xi_3=1)&= 0\end{split}\]

Diese 6 Gleichungen und die weiter oben berechneten allgemeinen Lösungen bilden zusammen ein Lineares Gleichungssystem für die sechs Integrationskonstanten. Als Lösung erhält man:

\[\begin{split}C_1 &= - \tfrac{q a^{3}}{6 EI} \\ C_2 &= 0 \\ C_3 &= \tfrac{q a^{3}}{3 EI} \\ C_4 &= 0 \\ C_5 &= - \tfrac{7 q a^{3}}{12 EI} \\ C_6 &= \tfrac{5 q a^{4}}{8 EI}\end{split}\]

Einsetzen dieser Konstanten in die allgemeinen Lösungen liefert die speziellen (an die RBn angepassten) Lösungen.

e) Funktionsgraphen

Visualisieren Sie die Querverschiebung \(w\) und den genäherten Neigungswinkel \(\psi = - w'\) für die gegebenen Symbole. Zeichnen Sie dazu die Funktionsgraphen der folgenden Funktionen:

\(w_1 \, / \, \tfrac{qa^4}{EI}\) über \(\xi_1\)
\(w_2 \, / \, \tfrac{qa^4}{EI}\) über \(\xi_2\)
\(w_3 \, / \, \tfrac{qa^4}{EI}\) über \(\xi_3\)

sowie:

\(\psi_1 \, / \, \tfrac{qa^3}{EI}\) über \(\xi_1\)
\(\psi_2 \, / \, \tfrac{qa^3}{EI}\) über \(\xi_2\)
\(\psi_3 \, / \, \tfrac{qa^3}{EI}\) über \(\xi_3\)

Lösung

Bokeh Plot

f) Verschiebung und Knickwinkel bei D

Berechnen Sie bei Gelenk D:

die Querverschiebung, nämlich:

\[w_2(x_2=a) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \ldots \mathrm{cm}\]
den Knickwinkel \(\alpha\), definiert als:

\[\lvert \psi_3(x_3 = 0)- \psi_2(x_2=a) \rvert \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} \ldots ^\circ\]

Verwenden Sie hierbei folgende Größen:

\[\begin{split}E &= 210 \, \mathrm{GPa} \\ I &= 4000 \, \mathrm{cm^4} \\ q &= 10000 \, \tfrac{\mathrm N}{\mathrm{m}} \\ a &= 4 \, \mathrm{m}\end{split}\]

Eurocodes

Das Flächenträgheitsmoment \(I = 4000 \, \mathrm{cm^4}\) entspricht ca. dem eines HEA-200-Profils nach DIN 1025-3, Euronorm 53-62, EN 1993-1-1:2005 aus Eurocode 3.
Eigenschaften derartiger Träger kann man berechnen auf dieser Page.

Lösung

Querverschiebung
Bokeh Plot

\[\begin{split}w_2(x_2=a) &= w_3(x_3=0)\tfrac{5 q a^{4}}{8 EI} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 19{,}0 \,\mathrm{cm}\end{split}\]
Knickwinkel
Bokeh Plot

\[\begin{split}\psi_3(0) &= - w_3'(0) \\ &= \tfrac{7}{12}\tfrac{qa^{3}}{EI} \\ &= 0{,}58\overline{3} \tfrac{qa^{3}}{EI} \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}55^\circ\\ \\ \psi_2(a) &= - w_2'(a) \\ &= - \tfrac{3 qa^{3}}{4 EI} \\ &= - \tfrac{9}{12}\tfrac{qa^{3}}{EI} \\ &= - 0{,}75 \tfrac{qa^{3}}{EI} \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} -3{,}27^\circ\end{split}\]

Damit:

\[\begin{split}\lvert \psi_3(0)- \psi_2(a) \rvert &= \lvert \tfrac{16}{12} {\tfrac{q a^{3}}{EI}} \rvert \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 5{,}82^\circ\end{split}\]

Details

Am rechten Rand von Bereich 2 ist die Balkenmittellinie um ca. 3,27 Grad nach unten geneigt.
Am linken Rand von Bereich 3 ist die Balkenmittellinie um ca. 2,55 Grad nach oben geneigt.
Die Balkenmittellinie knickt bei D ab nach oben um ca. 5,82 Grad.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import expand, integrate, diff, solve

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

x, xi = symbols("x, xi")

two = S(2)
f32 = S(3)/2

a, q, EI = symbols('a, q, EI')

pprint("Support Reactions:")
pprint("Ah, Av, Bv, Cv, Dh, Dv:")
Ah, Av, Bv, Dh, Dv, Cv = symbols('Ah, Av, Bv, Dh, Dv, Cv')
unknowns = [Ah, Av, Bv, Dh, Dv, Cv]

qa = q*a
eqns = [
    Eq(0, Ah + Dh),
    Eq(0, Av + Bv - Dv - qa),
    Eq(0, -Bv + two*Dv + f32*qa),
    Eq(0, Dh),
    Eq(0, Dv + Cv - qa),
    Eq(0, half*qa - Cv),
    ]
sol = solve(eqns, unknowns)

Ah, Av, Bv, Cv, Dh, Dv = \
    sol[Ah],sol[Av],sol[Bv],sol[Cv],sol[Dh],sol[Dv]

for tmp in [Ah, Av, Bv, Cv, Dh, Dv]:
    pprint(tmp)

pprint("M / (qa²):")
facM = q*a*a

M1 = Av*x
M2 = Av*(a+x) + Bv*x - half*q*x**2
M3 = Cv*(a-x) - half*q*(a-x)**2

M1n = M1/facM
M2n = M2/facM
M3n = M3/facM

for tmp in [M1n, M2n, M3n]:
    tmp = expand(tmp)
    tmp = tmp.subs(x, xi*a)
    pprint(tmp)

# lhr = M2n.subs(x,a+x).simplify()
# rhs = M3n.simplify()
# pprint(lhr == rhs)

C1, C2, C3, C4, C5, C6 = symbols('C1, C2, C3, C4, C5, C6')
unknowns = [C1, C2, C3, C4, C5, C6]

w1pp = -M1/EI
w1p = integrate(w1pp,x) + C1
w1 =  integrate(w1p,x) + C2
w2pp = -M2/EI
w2p = integrate(w2pp,x) + C3
w2 =  integrate(w2p,x) + C4
w3pp = -M3/EI
w3p = integrate(w3pp,x) + C5
w3 =  integrate(w3p,x) + C6

pprint("\nw-Functions:")
for tmp in [w1, w2, w3]:
    tmp = tmp.subs(x, xi*a)
    tmp = tmp.collect(q*a**4/EI)
    pprint(tmp)

bc1 = Eq(w1.subs(x,0), 0)              # w1(0) = 0
bc2 = Eq(w1.subs(x,a), 0)              # w1(a) = 0
bc3 = Eq(w2.subs(x,0), 0)              # w2(0) = 0
bc4 = Eq(w1p.subs(x,a), w2p.subs(x,0)) # w1'(a) = w2'(0)
bc5 = Eq(w2.subs(x,a), w3.subs(x,0))   # w2(a) = w3(0)
bc6 = Eq(w3.subs(x,a), 0)              # w3(a) = 0

sol = solve(eqns, unknowns)
eqns = [bc1, bc2, bc3, bc4, bc5, bc6]

sol = solve(eqns, unknowns)
sC1 = sol[C1]
sC2 = sol[C2]
sC3 = sol[C3]
sC4 = sol[C4]
sC5 = sol[C5]
sC6 = sol[C6]

w1 = w1.subs({C1: sC1, C2: sC2})
w2 = w2.subs({C3: sC3, C4: sC4})
w3 = w3.subs({C5: sC5, C6: sC6})

pprint("\nw / ( (qa⁴) / (EI) ):")
facw = q*a*a*a*a/EI
w1n = w1/facw
w2n = w2/facw
w3n = w3/facw

for tmp in [w1n, w2n, w3n]:
    tmp = expand(tmp)
    tmp = tmp.subs(x, xi*a)
    pprint(tmp)

pprint("\nψ / ( (qa³) / (EI) ):")
facwp = q*a*a*a/EI
w1p = diff(w1,x)
w2p = diff(w2,x)
w3p = diff(w3,x)
p1 = -w1p/facwp
p2 = -w2p/facwp
p3 = -w3p/facwp

for tmp in [p1, p2, p3]:
    tmp = expand(tmp)
    tmp = tmp.subs(x, xi*a)
    pprint(tmp)

sub_list = [
    ( a,   4        *m             ),
    ( q,   10**4    * N / m        ),
    ( EI,  210 *GPa * 4000 *cm**4  ),
    ]

pprint("\nQuantities at D:")

pprint("\nw / cm:")
w2 = w2.subs(x, a)
printout(w2, unit=cm, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nψ₃ / deg:")
p3 = - w3p.subs(x,0)
printout(p3, unit=deg, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nψ₂ / deg:")
p2 = - w2p.subs(x,a)
printout(p2, unit=deg, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\n| ψ₃ - ψ₂ | / deg:")
jump = abs(p3 - p2)
printout(jump, unit=deg, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.