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2.4.2.G

Gegeben

Symbole:

\[a, q, E, I\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 3 \, \mathrm{m} \\ q &= 8 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\ E &= 200 \,\mathrm{GPa} \\ I &= 10^7 \,\mathrm{mm}^4\end{split}\]

a) Biegesteifigkeit

Berechnen Sie die Biegesteifigkeit \(B\) Für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}B &= EI \\ &= 2000 \, \mathrm{kNm}^2\end{split}\]

Lösung

SI-Einheiten:

\[\begin{split}1\, \mathrm{GPa} &= 10^9\, \tfrac{\mathrm N}{\mathrm{m}^2} \\ 200\, \mathrm{GPa} &= 2\cdot 10^{11}\, \tfrac{\mathrm N}{\mathrm{m}^2}\\ \\ 1\, \mathrm{mm}^4 &= 10^{-12} \, \mathrm{m}^4 \\ 10^7 \,\mathrm{mm}^4 &= 10^{-5} \, \mathrm{m}^4 \\\end{split}\]

Dies verwenden liefert:

\[\begin{split}B &= EI \\ &= 200 \, \mathrm{GPa} \cdot 10^7 \, \mathrm{mm}^4 \\ &= 2\cdot 10^{11} \cdot 10^{-5} \, \mathrm{Nm}^2 \\ &= 2\cdot 10^{6} \, \mathrm{Nm}^2 \\ &= 2\cdot 10^{3} \, \mathrm{kNm}^2 \\ &= 2000 \, \mathrm{kNm}^2\end{split}\]

b) Biegemoment

Berechnen Sie zuerst die Lagerreaktionen - und dann das Biegemoment \(M\) durch Freischneiden und Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen:

• für die gegebenen Symbole. Zeigen Sie, dass:

  \[M(x) = q a^2\left\{ - \tfrac12 \left( \tfrac x a \right)^2 + \tfrac12 \left( \tfrac x a \right) \right\}\]

• für die gegebenen Größen in der Mitte bei \(x=1{,}5\,\mathrm{m}\). Zeigen Sie, dass:

  \[M(1{,}5\,\mathrm{m}) = 9 \,\mathrm{kNm}\]

Lösung

Biegemoment \(M\):

• für die gegebenen Symbole:

  \[\begin{split}M(x) &= - qx \cdot \tfrac12 x + \tfrac 12 qa \cdot x \\ &= - \tfrac12 qx^2 + \tfrac 12 qax \\ &= q a^2 \left\{ - \tfrac12 \left( \tfrac x a \right)^2 + \tfrac12 \left( \tfrac x a \right) \right\}\end{split}\]

• für die gegebenen Größen in der Mitte bei \(x=1{,}5\,\mathrm{m} = \tfrac12 a\):

  \[\begin{split}M\left(\tfrac12 a\right) &= \tfrac12 q a^2 \left\{ - \tfrac14 + \tfrac12 \right\} \\ &= \tfrac18 q a^2 \\ M(1{,}5\,\mathrm{m}) &= 9 \,\mathrm{kNm}\end{split}\]

c) Allgemeine Lösung

Für die gegebenen Symbole: Verwenden Sie \(w''(x) = - \tfrac{1}{EI} M(x)\). Berechnen Sie damit die allgemeine Lösung \(w\). Zeigen Sie, dass mit Integrationskonstanten \(C_1, C_2\) gilt:

\[w(x) = \tfrac{qa^4}{EI}\left\{ \tfrac{1}{24} \left( \tfrac x a \right)^{4} - \tfrac{1}{12} \left( \tfrac x a \right)^{3} \right\} + C_{1} x + C_{2}\]

Lösung

Einsetzen den zuvor berechneten Biegemoments in

\[w''(x) = - \tfrac{1}{EI} M(x)\]

und Integrieren führt auf:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.G-i} w''(x) &= - \tfrac{qa^2}{EI} \left\{ - \tfrac12 \left( \tfrac x a \right)^2 + \tfrac12 \left( \tfrac x a \right) \right\} \notag \\ &= \tfrac{qa^2}{EI} \left\{ \tfrac12 \left( \tfrac x a \right)^2 -\tfrac12 \left( \tfrac x a \right) \right\} \notag \\ w'(x) &= \tfrac{qa^3}{EI} \left\{ \tfrac16 \left( \tfrac x a \right)^3 - \tfrac14 \left( \tfrac x a \right)^2 \right\} + C_1 \tag{i1} \\ w(x) &= \tfrac{qa^4}{EI} \left\{ \tfrac{1}{24} \left( \tfrac x a \right)^4 - \tfrac{1}{12} \left( \tfrac x a \right)^3 \right\} + C_1 x + C_2 \tag{i2} \end{align}

d) Spezielle Lösung

Geben Sie zwei Randbedingungen an. Und zeigen Sie, dass die Auswertung dieser Bedingungen liefert:

\[\begin{split}C_1 &= \tfrac{qa^3}{24 E I} \\ C_2 &= 0\end{split}\]

Zeigen Sie, dass die spezielle Lösung ist:

\[w(x) = \tfrac{qa^4}{EI}\left\{ \tfrac{1}{24} \left( \tfrac x a \right)^{4} - \tfrac{1}{12} \left( \tfrac x a \right)^{3} + \tfrac{1}{24} \left( \tfrac x a \right) \right\}\]

Prüfen Sie die Einheit von \(w.\) Zeigen Sie, dass:

\[[w] = \mathrm{m}\]

Lösung

Randbedingungen bei \(x=0\) und bei \(x=a\):

\begin{align} \label{eq-2.4.2.G-b} w(0) &= 0 \tag{b1}\\ w(a) &= 0 \tag{b2} \end{align}

Einsetzen von (b1), (b2) in (i1), (i2) ergibt zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten \(C_1, C_2\). Lösung:

\[\begin{split}C_1 &= \tfrac{qa^3}{24 E I} \\ C_2 &= 0\end{split}\]

Einsetzen von \(C_1, C_2\) in die allgemeine Lösung ergibt die spezielle Lösung:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.G-S} w(x) = \tfrac{qa^4}{EI}\left\{ \tfrac{1}{24} \left( \tfrac x a \right)^{4} - \tfrac{1}{12} \left( \tfrac x a \right)^{3} + \tfrac{1}{24} \left( \tfrac x a \right) \right\} \tag{1} \end{align}

Einheit von \(w\):

\begin{align} \left[ w\right] &=\left[ \tfrac{qa^4}{EI} \right] \\ &= \tfrac{\mathrm{N}\,\mathrm{m}^4\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^4} \\ &= \mathrm{m} \end{align}

e) Querverschiebung

Die Querverschiebung \(w\) ist maximal bei \(x=\tfrac a 2\). Berechnen Sie diese maximale Querverschiebung in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[w(1{,}5\,\mathrm{m}) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}22\,\mathrm{mm}\]

Zeichnen Sie in einem Diagramm \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über Position \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter).

Lösung

Auswertung von (1) bei \(x=\tfrac a 2\) ergibt:

\[\begin{split}w(\tfrac 1 2 a) &= \tfrac{qa^4}{EI}\left\{ \tfrac{1}{24} \left( \tfrac 1 2 \right)^{4} - \tfrac{1}{12} \left( \tfrac 1 2 \right)^{3} + \tfrac{1}{24} \left( \tfrac 1 2 \right) \right\} \\ &= \tfrac{qa^4}{EI}\left\{ \tfrac{1}{24} \tfrac{1}{16} - \tfrac{1}{12} \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{24} \tfrac 1 2 \right\} \\ &= \tfrac{qa^4}{24 EI}\left\{ \tfrac{1}{16} - \tfrac{2}{8} + \tfrac 1 2 \right\} \\ &= \tfrac{5}{384} \tfrac{qa^4}{EI}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[w(1{,}5\,\mathrm{m}) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}22\,\mathrm{mm}\]

f) Neigungswinkel

Berechnen Sie den genäherten Neigungswinkel \(\psi=-w'\) in \(^\circ\) (Grad) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}001\) bei \(x = 0\,\mathrm{m}\) und bei \(x = 3\,\mathrm{m}\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\psi(0\,\mathrm{m}) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} -0{,}258^\circ \\ \psi(3\,\mathrm{m}) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} +0{,}258^\circ\end{split}\]

Zeichnen Sie in einem Diagramm \(\psi\) in \(^\circ\) (Grad) über Position \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter).

Lösung

Ableitung von (1) ergibt:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.G-prime} w'(x) &= \tfrac{qa^3}{EI}\left\{ \tfrac{4}{24} \left( \tfrac x a \right)^{3} - \tfrac{3}{12} \left( \tfrac x a \right)^{2} + \tfrac{1}{24} \right\}\\ \psi(x) &= \tfrac{qa^3}{EI}\left\{ - \tfrac{4}{24} \left( \tfrac x a \right)^{3} + \tfrac{6}{24} \left( \tfrac x a \right)^{2} - \tfrac{1}{24} \right\} \tag{2} \end{align}

Einsetzen von \(x=0\) und \(x=a\) in (2) ergibt:

\[\begin{split}\psi(x=0) &= \tfrac{qa^3}{EI}\left\{ - 0 + 0 - \tfrac{1}{24} \right\} \\ &= - \tfrac{1}{24}\tfrac{qa^3}{EI} \\ \\ \psi(x=a) &= \tfrac{qa^3}{EI}\left\{- \tfrac{4}{24} + \tfrac{6}{24} - \tfrac{1}{24} \right\} \\ &= + \tfrac{1}{24}\tfrac{qa^3}{EI}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen ergibt:

\[\begin{split}\psi(0\,\mathrm{m}) &= - 0{,}00450 \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} - 0{,}258^\circ \\ \\ \psi(3\,\mathrm{m}) &= + 0{,}00450 \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} + 0{,}258^\circ\end{split}\]

g) Biegemoment

Berechnen Sie das Biegemoment \(M\) aus der Querverschiebung \(w''\), nämlich aus:

\[M(x)= - EI w''(x)\]

Zeigen Sie, dass Sie dieselbe Funktion \(M\) erhalten wie zuvor mit den Gleichgewichtsbedingungen berechnete Funktion. Zeichnen in einem Diagramm das Schnittmoment \(M\) in \(\mathrm{kNm}\) (Kilonewtonmeter) über Position \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter).

Lösung

Berechnung der Ableitung \(\psi'\) aus (2) und Verwendung dieser Ableitung ergibt:

\[\begin{split}M &= EI \psi' \\ &= qa^2 \left\{ - \tfrac{12}{24} \left( \tfrac x a \right)^{2} + \tfrac{12}{24} \left( \tfrac x a \right)^{1} \right\} \\ &= qa^2 \left\{ - \tfrac{1}{2} \left( \tfrac x a \right)^{2} + \tfrac{1}{2} \left( \tfrac x a \right) \right\}\end{split}\]

also dieselbe Funktion \(M(x)\) wie oben.

h) Querkraft

Berechnen Sie die Querkraft \(Q\) aus:

\[Q(x) = M'(x)\]

Zeichnen Sie in einem Diagramm die Querkraft \(Q\) in \(\mathrm{kN}\) (Kilonewton) über Position \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter).

Lösung

Berechnung der Ableitung von \(M\) ergibt:

\[\begin{split}Q &= M' \\ &= qa \left\{ - 2 \cdot \tfrac{1}{2} \left( \tfrac x a \right)^{1} + \tfrac{1}{2} \right\} \\ &= qa \left\{ - \left( \tfrac x a \right) + \tfrac{1}{2} \right\}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen führt auf:

\[Q = 24 \,\mathrm{kN} \left\{ - \left( \tfrac x a \right) + \tfrac{1}{2} \right\}\]