2.4.2.H

Gegeben

Symbole:

\[a, M_A, E, I\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 3 \,\mathrm{m} \\ M_A &= 30 \,\mathrm{kNm} \\ E &= 200 \,\mathrm{GPa} \\ I &= 65 \cdot 10^6 \,\mathrm{mm}^4\end{split}\]

Untersuchen Sie die Struktur. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Biegesteifigkeit

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Biegesteifigkeit \(B\) in \(\mathrm{kNm}^2\). Zeigen Sie, dass:

\[B = EI = 13000 \,\mathrm{kNm}^2\]

Lösung

\[\begin{split}B &= 200\cdot 65 \cdot 10^6 \cdot 10^9 \,\mathrm{Pa} \cdot 10^{-12} \,\mathrm{m}^4 \\ &= 200\cdot 65 \cdot 10^3 \,\mathrm{Nm}^2 \\ &= 13000 \,\mathrm{kNm}^2\end{split}\]

b) Biegemoment

Zeigen Sie mit einem Freikörperbild, dass:

\[M(x)= M_A\]

Lösung

\[M(x)= M_A\]

c) Allgemeine Lösung

Zeigen Sie, dass Integration von \(w'' = - \tfrac{1}{EI} M\) folgende allgemeine Lösung (mit zwei Integrationskonstanten \(C_1, C_2\)) liefert:

für die gegebenen Symbole:

\[w(x) = - \tfrac{M_A x^{2}}{2 E I} + C_{1} x + C_{2}\]
für die gegebenen Größen:

\[w(x) = - \tfrac{3 x^{2}}{2600\,\mathrm{m}} + C_{1} x + C_{2}\]

Lösung

Ausgehend von:

\[w''(x) = - \tfrac{1}{EI} M(x)\]

Für die gegebenen Symbole: Einsetzen von \(M(x)=M_A\) und Integration liefert:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.H-1} w''(x) &= - \tfrac{1}{EI} M_A \notag \\ w'(x) &= - \tfrac{1}{EI} M_A x + C_1 \tag{i1} \\ w(x) &= - \tfrac{M_A x^{2}}{2 E I} + C_1 x + C_2 \tag{i2} \end{align}
Dies ist die allgemeine Lösung.

Für die gegebenen Größen: Einsetzen der gegebenen Größen in (i2) liefert:

\[w(x) = - \tfrac{3 x^{2}}{2600\,\mathrm{m}} + C_{1} x + C_{2}\]

Siehe auch diese Visualisierung der allgemeinen Lösung.

d) Spezielle Lösung

Geben Sie Randbedingungen an.

Zeigen Sie, dass für die gegebenen Symbole gilt:

\[C_1 = \tfrac{M_A a}{E I} \qquad, \qquad C_2 = - \tfrac{M_A a^{2}}{2 E I}\]

sodass die spezielle Lösung ist:

\[w(x) = \tfrac{M_A a^2}{E I} \left\{ - \tfrac{1}{2} + \left( \tfrac{x}{a} \right) - \tfrac12 \left( \tfrac x a \right)^2 \right\}\]
Zeigen Sie, dass für die gegebenen Größen - und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}0001\) - gilt:

\[C_1 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 0{,}0069 \qquad, \qquad C_2 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} - 0{,}0104 \,\mathrm{m}\]

Lösung

Randbedingungen am rechten Rand bei \(x=a\):

\begin{align} \label{eq-2.4.2.H-B} w(a) &= 0 \tag{b1}\\ w'(a) &= 0 \tag{b2} \end{align}

Für die gegebenen Symbole:

Einsetzen von (b1),(b2) in (i1), (i2) liefert zwei Aussagen, aus denen \(C_1, C_2\) berechnet werden können:

\[\begin{split}C_{1} a + C_{2} - \tfrac{M_A a^{2}}{2 E I} &= 0 \\ C_{1} - \tfrac{M_A a}{E I} &= 0\end{split}\]

Lösung:

\[\left( C_1, C_2 \right) = \left( \tfrac{M_A a}{E I}, - \tfrac{M_A a^{2}}{2 E I} \right)\]

Einsetzen von \(C_1, C_2\) in die allgemeine Lösung (i2) liefert die spezielle Lösung:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.H-4} w(x) &= \tfrac{M_A}{E I} \left\{- \tfrac{a^{2}}{2} + a x - \tfrac{x^{2}}{2}\right\} \notag \\ &= \tfrac{M_A a^2}{E I} \left\{ - \tfrac{1}{2} + \left( \tfrac{x}{a}\right) - \tfrac 1 2 \left( \tfrac x a \right)^2 \right\} \tag{1} \end{align}

Für die gegebenen Größen:

\[\left( C_1, C_2 \right) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} \left( 0{,}0069, -0{,}0104 \,\mathrm{m} \right)\]

e) Funktionswerte bei A

Für die gegebenen Größen: Zeigen Sie, dass folgendes gilt:

Die Querverschiebung \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) bei \(x=0\) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) ist:

\[w(0) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} -10{,}4 \,\mathrm{mm}\]
Die Ableitung \(w'(x)\) bei \(x=0\) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}0001\) ist:

\[w'(0) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 0{,}0069\]
Der genäherte Neigungswinkel \(\psi = - w'\) in \(^\circ\) (Grad) bei \(x=0\) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}001\) ist:

\[\psi (0) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} -0{,}397^\circ\]

Lösung

\(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) bei \(x=0\): Auswertung von (1) bei \(x=0\) und Runden liefert:

\[w(x=0)\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} -10{,}4 \,\mathrm{mm}\]

vgl. die Konstante \(C_2\).
Steigung:

\[w' = \tfrac{M_A a}{E I} \left\{ 1 - \left( \tfrac x a \right) \right\}\]

Auswerten dieser Funktion bei \(x=0\) und Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[w'(x=0) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 0{,}0069\]

vgl. die Konstante \(C_1\).
Genäherter Neigungswinkel \(\psi = - w'\) bei \(x=0\):

\[\begin{split}\psi(x=0) &= - w'(x=0)\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx} - 0{,}397^\circ\end{split}\]

f) Funktionsgraphen

Zeichnen Sie für die geg. Symbole:

Querverschiebung \(w \,/ \,\tfrac{M_A a^2}{EI}\) über \(x\,/\,a\)
Genäherter Neigungswinkel \(\psi \,/ \,\tfrac{M_A a}{EI}\) über \(x\,/\,a\)

Zeichnen Sie für die geg. Größen:

Querverschiebung \(w \,/ \,\mathrm{mm}\) über \(x \,/ \,\mathrm{m}\)
Genäherter Neigungswinkel \(\psi \,/ \,\mathrm{deg}\) über \(x \,/ \,\mathrm{m}\)

Lösung

Querverschiebung \(w \,/ \,\tfrac{M_A a^2}{EI}\) über \(x\,/\,a\)

Bokeh Plot

Querverschiebung \(w \,/ \,\mathrm{mm}\) über \(x \,/ \,\mathrm{m}\)

Bokeh Plot

Genäherter Neigungswinkel \(\psi \,/ \,\tfrac{M_A a}{EI}\) über \(x\,/\,a\)

\[\begin{split}w' &= \tfrac{M_A a}{E I} \left\{ 1 - \left( \tfrac x a \right) \right\} \\ \psi &= - w' \\ &= \tfrac{M_A a}{E I} \left\{ \left( \tfrac x a \right) - 1 \right\} \\ \tfrac{\psi}{\tfrac{M_A a}{EI}} &= \left( \tfrac x a \right) - 1\end{split}\]

Bokeh Plot

Genäherter Neigungswinkel \(\psi \,/ \,\mathrm{deg}\) über \(x \,/ \,\mathrm{m}\)

Bokeh Plot

g) Ergebnis-Kontrolle

Verwenden Sie das von Ihnen berechnete \(w(x)\) und \(M(x) = - EI w''(x)\), um zu zeigen, dass:

\[M(x) = M_A\]

Lösung

Ableiten liefert:

\[w''= - \tfrac{M_A}{E I}\]

sodass:

\[\begin{split}M(x) &= - EI w''(x) \\ &= M_A\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff, integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

# Symbols:
a, MA, E, I = symbols('a, MA, E, I')

# Quantities:
sub_list = [
    ( a,    3     *m     ),
    ( MA,  30     *kN*m  ),
    ( E,  200     *GPa   ),
    ( I, 65*10**6 *mm**4 ),
    ]

# Bending stiffness and section moment:
B = E*I
M = MA

C1, C2 = symbols('C1, C2')
x = symbols("x")

# w'' = - M / EI
wpp = - M/B
wp = integrate(wpp,x) + C1
w =  integrate(wp,x) + C2

pprint("w:")
pprint(w)

pprint("\nParticular solution...")
# Boundary Conditions:
bc1 = Eq(w.subs(x,a), 0)   # w(a)  = 0
bc2 = Eq(wp.subs(x,a), 0)  # w'(a) = 0

unknowns = [C1, C2]
eqns = [bc1, bc2]
sol = solve(eqns, unknowns)
sC1 = sol[C1]
sC2 = sol[C2]

pprint("\nC₁:")
tmp = sC1
pprint(tmp)
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp = iso_round(tmp, 4)
pprint(tmp)

pprint("\nC₂:")
tmp = sC2
pprint(tmp)
pprint("\nC₂ / m:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= m
tmp = iso_round(tmp, 4)
pprint(tmp)

w = w.subs({C1: sC1, C2: sC2})
wp = wp.subs({C1: sC1, C2: sC2})

pprint("\nw:")
pprint(w)
pprint("\nw / ( (Mᴀ a²) / (EI) ):")
wf = w / (  (MA*a*a) / B )
wf = wf.simplify()
xi = symbols("xi")
tmp = wf.expand().subs(x/a,xi)
pprint(tmp)

pprint("\nw' / ( (Mᴀ a) / (EI) ):")
wpf = wp / (  (MA*a) / B )
wpf = wpf.simplify()
tmp = wpf.expand().subs(x/a,xi)
pprint(tmp)

pprint("w(x=0) / mm:")
w0 = w.subs(x, 0)
printout(w0, unit=mm, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nw' / ( Mᴀ B / a):")
wp = diff(w,x)
tmp = wp
tmp /= MA*a/B
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\nw'(x=0):")
wp0 = wp.subs(x, 0)
printout(wp0, unit=1, prec=5, sub_list=sub_list)

pprint("\nψ(x=0) / deg:")
psi0 = - wp.subs(x, 0)
printout(psi0, unit=deg, prec=3, sub_list=sub_list)

pprint("\nM(x):")
wpp = diff(wp,x)
wpp = wpp.simplify()
pprint(-B * wpp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.