2.4.2.I

Video

Gegeben

Symbole:

\[a, q, F, E, I\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 3 \, \mathrm{m} \\ q &= 3 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\ F &= 10 \, \mathrm{kN} \\ E &= 200 \, \mathrm{GPa} \\ I &= 6500 \, \mathrm{cm}^4\end{split}\]

Lösung auf einer Seite

../../../../_images/all.X10.png — 1: Freischneiden und \(M\) berechnen. 2: Integrieren zur allgemeinen Lösung. 3: Randbedingungen in \(w\) und \(w'\). 4: Integrationskonstanten berechnen. 5: Spezielle Lösung \(w\).

a) Biegesteifigkeit

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Biegesteifigkeit \(EI\) in \(\mathrm{kNm}^2\). Zeigen Sie, dass:

\[EI = 13000 \,\mathrm{kNm}^2\]

Lösung

\[\begin{split}EI &= 200 \cdot 6500 \, \mathrm{GPa} \, \mathrm{cm}^4 \\ &= 130 \cdot 10^4 \cdot 10^9 \cdot 10^{-8} \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2} \, \mathrm{m}^4 \\ &= 130 \cdot 10^5 \, \mathrm{N}\mathrm{m}^2\\ &= 13000 \,\mathrm{kNm}^2\end{split}\]

b) Biegemoment

Berechnen Sie das Biegemoment \(M\):

für die gegebenen Symbole als Funktion \(M(x)\) und
für die gegebenen Größen, und zwar bei \(x = 3\,\mathrm{m}.\)

Lösung

Für die gegebenen Symbole:

\begin{align*} M(x) = - F x - \tfrac 12 q x^2 \end{align*}

Für die gegebenen Größen und nach Einsetzen von \(x=3\,\mathrm{m}\):

\[\begin{split}M(x = 3\mathrm{m}) &= - \tfrac{87}{2} \,\mathrm{kNm} \\ &= - 43{,}5 \,\mathrm{kNm}\end{split}\]

c) Integration und allgemeine Lösung

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\begin{align*} w= \tfrac{1}{E I} \left\{ \tfrac{1}{6} F x^{3} + \tfrac{1}{24} q x^{4} \right\} + C_{1} x + C_{2} \end{align*}

mit zwei Konstanten \(C_1, C_2\).

Lösung

ausgehen von \(M(x) = - EI w''(x)\)
einsetzen von \(M(x)=- F x - \tfrac 12 q x^2\)
Integration

\begin{align} \label{eq-2.4.2.I-i} M &= - EI w'' \\ w'' &= - \tfrac{1}{EI} M \\ &= - \tfrac{1}{EI} \left\{- F x - \tfrac{1}{2} q x^2 \right\} \notag \\ &= \tfrac{1}{EI} \left\{ F x + \tfrac{1}{2} q x^2 \right\} \notag \\ w' &= \tfrac{1}{EI} \left\{\tfrac 1 2 F x^2 + \tfrac{1}{6} q x^3 \right\} + C_1 \tag{i1} \\ w &= \tfrac{1}{E I} \left\{ \tfrac{1}{6} F x^{3} + \tfrac{1}{24} q x^{4} \right\} + C_{1} x + C_{2} \tag{i2} \end{align}

mit \(C_1\) und \(C_2\) als Integrationskonstanten. Die letzte Gleichung heißt allgemeine Lösung.

d) Randbedingungen und spezielle Lösung

Geben Sie Randbedingungen an. Zeigen Sie, dass die Auswertung der Randbedingungen auf folgende Integrationskonstanten führt:

\[\begin{split}C_1 &= - \tfrac{a^{2}}{6 EI} \left(3 F + a q\right) \\ C_2 &= \tfrac{a^{3}}{EI} \left(\tfrac{1}{3} F + \tfrac{1}{8} a q\right)\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w &= \tfrac{F a^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left( \tfrac x a \right) + \left( \tfrac x a \right)^3 \right\} \dots \\ \dots &+ \tfrac{q a^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left( \tfrac x a \right) + \left( \tfrac x a \right)^4 \right\}\end{split}\]

Lösung

Randbedingungen am rechten Rand bei \(x=a\):

\begin{align} \label{eq-2.4.2.I-b} w(x=a) &= 0 \tag{b1}\\ w'(x=a)&= 0 \tag{b2} \end{align}

Auswerten der Funktionen (i2) an der Stelle \(x=a\) und Verwendung von (b1) liefert:

\[w(x=a) = \tfrac{1}{E I} \left\{ \tfrac{1}{6} F a^{3} + \tfrac{1}{24} q a^{4} \right\} + C_{1} a + C_{2} \stackrel{!}{=} 0\]

Auswerten der Funktionen (i1) an der Stelle \(x=a\) und Verwendung von (b2) liefert:

\[w'(x=a) = \tfrac{1}{EI} \left\{\tfrac 1 2 F a^2 + \tfrac{1}{6} q a^3 \right\} + C_1 \stackrel{!}{=} 0\]

Und aus diesen beiden Gleichungen lassen sich \(C_1\) und \(C_2\) berechnen. Lösung:

\begin{align} C_1 &= - \tfrac{a^{2}}{6 EI} \left(3 F + a q\right) \\ C_2 &= \tfrac{a^{3}}{EI} \left(\tfrac{1}{3} F + \tfrac{1}{8} a q\right) \end{align}

Einsetzen dieser \(C_1, C_2\) in die allgemeine Lösung liefert die spezielle Lösung:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.I-S} w = \tfrac{Fa^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left( \tfrac x a \right) + \left( \tfrac x a \right)^3 \right\} + \tfrac{qa^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left( \tfrac x a \right) + \left( \tfrac x a \right)^4 \right\} \tag{1} \end{align}

e) Funktionsgraph der w-Funktion

Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter) , und zwar für verschiedene \(-10\,\mathrm{kN} < F <10\,\mathrm{kN}\) und verschiedene \(-3 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} < q < 3 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}.\)

Lösung

Bokeh Plot

f) Ergebnisse für Größen

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Querverschiebung \(w\) und deren Ableitung \(w'\) bei \(x=0\,\mathrm{m}\). Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\) bzw. \(0{,}0001\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w(0) &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 9{,}26 \,\mathrm{mm} \\ w'(0) &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} -0{,}0045\end{split}\]

Berechnen Sie außerdem den genäherten Neigungswinkel \(\psi\) bei \(x=0\) in \(^\circ\) (Grad) und gerundet auf \(0{,}0001\). Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\psi(0) &= - w'(0) \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 0{,}2578^\circ\end{split}\]

Lösung

Auswertung von (1) bei \(x=0\) liefert:

\[w(0)\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 9{,}26\,\mathrm{mm}\]

Ableitung von \(w(x)\) liefert:

\[\begin{split}w' &= \tfrac{F a^2}{6 E I}\left\{ - 3 + 3 \left( \tfrac x a \right)^2 \right\} \dots \\ \dots &+ \tfrac{q a^3}{24 E I}\left\{ - 4 + 4 \left( \tfrac x a \right)^3 \right\}\end{split}\]

Auswertung bei \(x=0\) und Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[w'(0) = -0{,}00450\]

Genäherter Neigungswinkel bei \(x=0\):

\[\begin{split}\psi(0) &= - w'(0)\\ &= 0{,}0045 \tfrac{180^\circ}{\pi} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}0001}}{\approx} 0{,}2578^\circ\end{split}\]

g) Ergebnis-Kontrolle

Überprüfen Sie Ihrer Ergebnisse. Zeigen Sie dazu, dass:

\[\begin{split}w(a) &= 0 \\ w'(a) &= 0\end{split}\]

Lösung

Auswerten der speziellen Lösung \(w\) bzw. (1) und der Ableitung \(w'\) bei \(x=a\) liefert:

\[\begin{split}w(a) &= \tfrac{Fa^3}{6 E I}\left\{ 2 - 3 \left( \tfrac a a \right) + \left( \tfrac a a \right)^3 \right\} + \tfrac{qa^4}{24 E I}\left\{ 3 - 4 \left( \tfrac a a \right) + \left( \tfrac a a \right)^4 \right\} \\ &= 0 \\ w'(a) &= \tfrac{Fa^2}{6 E I}\left\{ - 3 + 3 \left( \tfrac a a \right)^2 \right\} + \tfrac{qa^3}{24 E I}\left\{ - 4 + 4 \left( \tfrac a a \right)^3 \right\} \\ &= 0\end{split}\]

h) Spezialfall

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie \(F\) abhängig von \(qa\), sodass die Querverschiebung \(w(0)\) am linken Rand null ist.

Lösung

Auswertung von (1) bei \(x=0\) führt auf:

\[\begin{split}w(0) = 2 F\tfrac{a^3}{6 E I} + 3 q \tfrac{a^4}{24 E I} &\stackrel{!}{=} 0 \\ \tfrac 1 3 F &= - \tfrac 1 8 q a \\ F &= -\tfrac 3 8 q a\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff, integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

a, q, F, E, I = symbols('a, q, F, E, I')

sub_list = [
    ( a,    3     *m     ),
    ( q,    3     *kN/m  ),
    ( F,   10     *kN    ),
    ( E,  200     *GPa   ),
    ( I, 6500     *cm**4 ),
    ]

pprint("EI / kNm²:")
B = E*I
printout(B, unit=kN*m**2, prec=0, sub_list=sub_list)

pprint("\nM:")
x = symbols("x")
M = - F * x - q*x*x/2
M = M.simplify()
tmp = M
pprint(tmp)

pprint("\nM(x = 3 m)/ kNm:")
M3m = M.subs(x, 3*m)
printout(M3m, unit=kN*m, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("Integrating...")
C1, C2 = symbols('C1, C2')
xi = symbols("xi")

# w'' = - M / EI
wpp = - M/B
wp = integrate(wpp,x) + C1
w =  integrate(wp,x) + C2
pprint("\nGeneral Solution:")
pprint("\nw:")
w = w.simplify()
tmp = w
pprint(w)

pprint("\nParticular solution:")
# BCs:
# bc1: w(a)  = 0
# bc2: w'(a) = 0
bc1 = Eq(w.subs(x,a), 0)
bc2 = Eq(wp.subs(x,a), 0)

unknowns = [C1, C2]
eqns = [bc1, bc2]
sol = solve(eqns, unknowns)
sC1 = sol[C1]
sC2 = sol[C2]
pprint(sC1)
pprint(sC2)

pprint("\nw:")
w = w.subs({C1: sC1, C2: sC2})
w = w.simplify()
pprint(w)

pprint("\nw(x=0) / mm:")
w0 = w.subs(x, 0)
printout(w0, unit=mm, prec=2, sub_list=sub_list)

pprint("\nw':")
wp = diff(w,x)
pprint(wp)

pprint("\nψ(0):")
wp0 = wp.subs(x, 0)
psi0 = - wp0
printout(psi0, unit=1, prec=4, sub_list=sub_list)

pprint("\nψ(0) / deg:")
printout(psi0, unit=deg, prec=4, sub_list=sub_list)

pprint("\nw(3 m):")
tmp = w.subs(x,a)
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\nw'(3 m):")
tmp = wp.subs(x,a)
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.