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2.4.2.J

Gegeben

../../../../_images/2.4.2.J_1.png

Symbole:

\[a, EI, F_1, F_2\]

Ein Kragbalken ist belastet durch zwei Kräfte \(F_1\) und \(F_2\) und erleidet Verformungen \(w_1, \psi_1, w_2, \psi_2.\)

Berechnen Sie die Querverschiebungen \(w_1\) und \(w_2\) sowie die genäherten Neigungswinkel \(\psi_1\) und \(\psi_2\). Beachten Sie, dass die Deformation aufgrund \(F_1\) und \(F_2\) die Superposition ist aus der Deformation aufgrund \(F_1\) und der aufgrund \(F_2.\)

Formeln aus Literatur

Gegeben sind außerdem folgende Informationen für einen allgemeinen Kragbalken unter einer variabel positionierten Last \(\boldsymbol F\).

../../../../_images/2.4.2.J.png

Sei wie im Bild dargestellt \(x_F\) die Position von \(\boldsymbol F\) und \(l\) die Länge des Balkens.

Dann gilt für die Verschiebung \(w\) und den genäherten Neigungswinkel \(\psi\) an einer Position \(\xi\):

\begin{align} \label{eq-2.4.2.J-1} w = \tfrac{F l^3}{6EI} \left( 3 \xi^2 \alpha - \xi^3 + \langle \xi - \alpha \rangle^3 \right)\tag{1} \end{align}
\begin{align} \label{eq-2.4.2.J-2} \psi = -\tfrac{F l^2}{6EI} \left( 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right) \tag{2} \end{align}

mit \(\left(\alpha, \xi\right)\) und der Föppl-Klammer \(\langle \xi-\alpha \rangle^n\) für \(n\ge 0\) gemäß:

\begin{align*} \left( \alpha, \xi \right) &= \left(\tfrac{x_F}{l} , \tfrac{x}{l} \right) & \\ \langle \xi-\alpha \rangle^n &= \begin{cases} 0 & \xi < \alpha \\ (\xi-\alpha)^n & \xi \ge \alpha \end{cases} \end{align*}

Herleitung von (2) aus (1)

(1) abgeleitet nach \(\xi\):

\[EI \tfrac{\partial w}{\partial \xi} = \tfrac16 F l^3 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\}\]

Weiterhin ist \(\tfrac{\partial \xi}{\partial x} = \tfrac{1}{l}\), sodass:

\[\begin{split}EI w' &= EI \tfrac{\partial w}{\partial \xi}\tfrac{\partial \xi}{\partial x} \\ &= \tfrac16 F l^3 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\} \tfrac{1}{l} \\ &= \tfrac16 F l^2 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\} \\ EI \psi = - EI w' &= - \tfrac16 F l^2 \left\{ 6 \xi \alpha - 3\xi^2 + 3 \langle \xi - \alpha \rangle^2 \right\}\end{split}\]

Untersuchen Sie die Struktur. Gehen Sie wie folgt vor.

a) Berechnen der Deformationen

../../../../_images/2.4.2.J_2.png

Werten Sie (1) und (2) aus. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\left( w_{11}, \psi_{11} \right) &= \left( \tfrac{F_{1} a^{3}}{3 EI}, - \tfrac{F_{1} a^{2}}{2 EI} \right) \\ \left( w_{12}, \psi_{12} \right) &= \left( \tfrac{5 F_{2} a^{3}}{6 EI}, - \tfrac{3 F_{2} a^{2}}{2 EI} \right) \\ \left( w_{21}, \psi_{21} \right) &= \left( \tfrac{5 F_{1} a^{3}}{6 EI}, - \tfrac{F_{1} a^{2}}{2 EI} \right) \\ \left( w_{22}, \psi_{22} \right) &= \left( \tfrac{8 F_{2} a^{3}}{3 EI}, - \tfrac{2 F_{2}}{EI} a^{2} \right)\end{split}\]

Hierbei ist:

  • \(w_{11}\): Verschiebung bei Position 1, also in Balkenmitte bei \(\xi = \tfrac 1 2,\) aufgrund \(F_1\).

  • \(\psi_{11}\): Neigung bei Position 1 aufgrund \(F_1\).

  • \(w_{21}\): Verschiebung bei Position 2, also rechts bei \(\xi = 1,\) aufgrund \(F_1\).

Lösung

../../../../_images/2.4.2.J_2.png

Einsetzen der Tabellenwerte in die Formeln (1) für \(w\) und (2) \(\psi\) liefert das Ergebnis.

Satz von Betti

Es gilt:

\[w_{12} F_1 = w_{21} F_2\]

vgl. Satz von Maxwell-Betti.

b) Superposition

Berechnen Sie die Querverschiebung \(w_1\) und den genäherten Neigungswinkel \(\psi_1\) bei \(F_1\) aufgrund beider Kräfte \(F_1\) und \(F_2.\) Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w_1 &= w_{11} + w_{12} \\ &= \tfrac{F_{1} a^{3}}{3 EI} + \tfrac{5 F_{2} a^{3}}{6 EI} \\ \psi_1 &= \psi_{11} + \psi_{12}\\ &= - \tfrac{F_{1} a^{2}}{2 EI} - \tfrac{3 F_{2} a^{2}}{2 EI} \\ w_2 &= w_{21} + w_{22} \\ &= \tfrac{5 F_{1} a^{3}}{6 EI} + \tfrac{8 F_{2} a^{3}}{3 EI} \\ \psi_2 &= \psi_{21} + \psi_{22} \\ &= - \tfrac{F_{1} a^{2}}{2 EI} - \tfrac{2 F_{2}}{EI} a^{2}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der Werte aus (2) liefert das Ergebnis.

c) Ergebnis für Größen

Berechnen Sie \(w_2\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) für die folgenden Größen:

\[\begin{split}F_1 &= 10 \,\mathrm{kN} \\ F_2 &= 10 \,\mathrm{kN} \\ a &= 1 \,\mathrm{m} \\ E &= 210 \,\mathrm{GPa} \\ I &= 318 \,\mathrm{cm}^4\end{split}\]

Runden Sie auf Rundestellenwert \(0{,}01\). Zeigen Sie, dass:

\[w_2 \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 52{,}41 \,\mathrm{mm}\]

Lösung

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[w_2 \stackrel{0.01}{\approx} 52{,}41 \,\mathrm{mm}\]

Veranschaulichung

  • \(E= 210 \,\mathrm{GPa}\) entspricht dem E-Modul von Stahl.

  • \(I = 318 \,\mathrm{cm}^4\) entspricht dem \(I_{yy}\) eines IPE 120.

    ../../../../_images/ipe_120.png

    DIN 1025-5: IPE 120: \(I_{yy}\stackrel{1.0}{\approx} 318 \,\mathrm{cm}^4\)

  • \(F_1 = F_2 = 10 \,\mathrm{kN}\) entspricht ca. der Gewichtskraft eines VW Polo.

    ../../../../_images/VW_Polo_IV_front_20071106.jpg

    VW Polo: Masse ca. \(1000\,\mathrm{kg}\), Gewichtskraft ca. \(1000\,\mathrm{kg} \cdot 10\,\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 10 \,\mathrm{kN}\)

d) Funktionsgraph

Zeichnen Sie für diese Größen \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(\tfrac{x}{2\,\mathrm{m}}\).

Zeigen Sie, dass die Gesamtverschiebung gleich ist der Summe von:

  1. der Verschiebung aufgrund \(F_1\) und

  2. der Verschiebung aufgrund \(F_2\).

Lösung

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

F1, F2, a, EI = symbols("F1, F2, a, EI")

def macaulay(x, a, n):
    "https://en.wikipedia.org/wiki/Macaulay_brackets"
    if x < a:
        return 0
    else:
        return (x-a)**n

def w(EI, F, a1, a2, r, xi):
    xi2 = xi*xi
    xi3 = xi*xi*xi
    tmp = F/6/EI
    tmp *= (a1 + a2)**3
    tmp *= 3*xi2*r - xi3 + macaulay(xi,r,3)
    return tmp

def psi(EI, F, a1, a2, r, xi):
    xi2 = xi*xi
    tmp = - F/6/EI
    tmp *= (a1 + a2)**2
    tmp *= 6*xi*r - 3*xi2 + 3*macaulay(xi,r,2)
    return tmp

# Given symbols:
a, EI, F1, F2 = symbols("a, EI, F1, F2")

tpl_D = {}
tpl_D["11"] = ( F1,   a, a, half, half )
tpl_D["21"] = ( F1,   a, a, half,    1 )
tpl_D["12"] = ( F2, 2*a, 0, half, half )
tpl_D["22"] = ( F2, 2*a, 0, 1,    1    )

w_D = {}
p_D = {}

for x in sorted(tpl_D):
    (F, a1, a2, r, xi) = tpl_D[x]
    w_D[x] =   w(EI, F, a1, a2, r, xi)
    p_D[x] = psi(EI, F, a1, a2, r, xi)

(w1, p1) = (w_D["11"] + w_D["12"], p_D["11"] + p_D["12"])
(w2, p2) = (w_D["21"] + w_D["22"], p_D["21"] + p_D["22"])

pprint("\nw1, ψ1, w2, ψ2:")
pprint(w1)
pprint(p1)
pprint(p2)
pprint(w2)

sub_list = [
    ( F1,   10 *kN              ),
    ( F2,   10 *kN              ),
    ( a,     1 *m               ),
    ( EI,  210 *GPa * 318*cm**4 ), # IPE 120
    ]

pprint("\nw2 / mm:")
printout(w2, unit=mm, prec=2, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

  1. Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.

  2. Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.

  3. Play: Knopf ▶ drücken.