2.4.2.K

Gegeben

Symbole:

\[a, q, F_B, M_B, EI\]

a) Biegemoment an den Rändern

Zeigen Sie mit geeigneten Freischnitten, dass für das Schnittmoment \(M(x)\) gilt:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.K-1} M(x=0) &= -\tfrac12 q a^2 - M_B - a F_B \tag{1a}\\ M(x=a) &= - M_B \tag{1b} \end{align}

Lösung

b) Differentialgleichungen

Aufgrund der Differentialgleichungen \(Q'=-q\) und \(M'=Q\) gilt:

\begin{align} \label{eq-2.4.2.K-2} Q(x) &= -q x + C_1 \\ M(x) &= -\tfrac12 q x^2 + C_1 x + C_2 \tag{2} \end{align}

(1a) und (1b) sind Aussagen über die Randwerte von \(M(x)\).
Damit lassen sich die Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\) berechnen.

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}C_1 &= F_B + qa \\ C_2 &= -F_B a - M_B - \tfrac12 q a^2\end{split}\]

Lösung

Die Randbedingungen (1a) und (1b) sind die Aussagen:

\[\begin{split}M(x=0) &= -\tfrac12 q a^2 - M_B - a F_B\\ M(x=a)&= -M_B\end{split}\]

Gleichung (2) ausgewertet bei \(x=0\) und bei \(x=a\) ergibt die Aussagen:

\[\begin{split}M(x=0) &= C_2 \\ M(x=a)&= -\tfrac12 q a^2 + C_1 a + C_2\end{split}\]

Gleichsetzen liefert ein lin. Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen zur Berechnung von \(C_1\) und \(C_2\). Lösung:

\[\begin{split}C_1 &= F_B + q a \\ C_2 &= -\tfrac12 q a^2 - M_B - a F_B\end{split}\]

c) Gleichgewichtsbedingungen

Einsetzen der Konstanten in (2) liefert:

\[M(x)= -\tfrac12q(a-x)^2 - M_B -(a-x)F_B\]

Probe durch Einsetzen von \(x=0\) und \(x=a\) in diese Funktionsgleichung:

\(x=0\): \(M(0) = -\tfrac12 qa^2 - M_B - a F_B\)
\(x=a\): \(M(a) = - M_B\)

Berechnen Sie \(M(x)\) jetzt auf eine zweite Art: Nämlich durch Freischneiden bei \(x\) und mit den Gleichgewichtsbedingungen.

Lösung

d) Querverschiebung w

Berechnen Sie die Querverschiebung \(w\). Zeigen Sie, dass:

\[w = \tfrac{1}{EI} \left\{ q a^{4} \left(\tfrac{1}{24}\xi^{4} - \tfrac{1}{6}\xi^{3} + \tfrac{1}{4}\xi^{2}\right) + F_B a^{3} \left(- \tfrac{1}{6}\xi^{3} + \tfrac{1}{2}\xi^{2}\right) + M_B a^{2} \tfrac{1}{2}\xi^{2} \right\}\]

mit der Abkürzung \(\xi = \tfrac x a\).

Zeigen Sie auch, dass am rechten Rand bei \(\xi=1\) gilt:

\[w = \tfrac{1}{EI} \left\{ \tfrac 1 8 q a^{4} + \tfrac 1 3 F_B a^{3} + \tfrac 1 2 M_B a^{2} \right\}\]

Lösung

Berechnung wie üblich.

Details

../../../../_images/ghs.png — Prüfen lassen sich die Ergebnisse z.B. auch mit dieser Tabelle aus Gross *et al.* [GEW+24].

e) Funktionsgraph der w-Funktion

Für diese gegebenen Größen:

\[\begin{split}a &= 3 \, \mathrm{m} \\ q &= 10 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\ F_B &= 10 \, \mathrm{kN} \\ M_B &= 20 \, \mathrm{kNm} \\ E &= 200 \, \mathrm{GPa} \\ I &= 6500 \, \mathrm{cm}^4\end{split}\]

Zeichnen Sie \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter) , und zwar:

für verschiedene \(0 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} < q < 10 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}.\)
für verschiedene \(0 < F_B <10\,\mathrm{kN}\) und
für verschiedene \(0 < M_B <20\,\mathrm{kN}\) und

Lösung

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

xi = symbols("xi")
a, q, FB, MB, EI = symbols("a, q, Fʙ, Mʙ, EI ")

# Boundary values:
M0 = -half*q*a*a -MB -a*FB
Ma = -MB

# symbolsiables:
x = symbols("x")
C1, C2 = symbols("C1, C2")

# Function M(x) unknown:
M = -half*q*x*x + C1*x + C2

# Find C1, C2:
eq1 = Eq(M.subs(x,0),M0)
eq2 = Eq(M.subs(x,a),Ma)

sol = solve([eq1, eq2],[C1, C2])
C1s, C2s = sol[C1], sol[C2]

# M(x) known:
M = M.subs({C1:C1s, C2:C2s})
M = M.simplify()

pprint("M(x):")
pprint(M)

pprint("\n\nM(x) (alternative):")
M_alt = -FB*(a-x) -MB -half*q*(a-x)**2
M_alt = M_alt.simplify()
pprint(M_alt)

C3, C4 = symbols("C3, C4")
# w'' = - M / EI
wp = - integrate(M / EI, (x, 0, x)) + C3
w = integrate(wp, (x, 0, x)) + C4

# Find C3, C4:
eq1 = Eq( w.subs(x,0), 0)
eq2 = Eq(wp.subs(x,0), 0)
sol = solve([eq1, eq2],[C3, C4])
C3s, C4s = sol[C3], sol[C4]

pprint("\nEI w:")
w = w.subs({C3:C3s, C4:C4s})
tmp = w

tmp = tmp*EI
tmp = tmp.expand()
tmp = tmp.subs({x: xi*a, })
tmp = tmp.collect(q*a**4)
tmp = tmp.collect(FB*a**3)
tmp = tmp.collect(MB*a**2)
EIw = tmp
pprint(tmp)

sub_list = [
    (a, 3 *m),
    (EI, 200 *GPa * 65*10**6 *mm**4),
    ]

q_, FB_, MB_ =  10 *kN/m, 10 *kN, 20 *kN*m

pprint("\nEI w / mm at x = 3 m:")
tmp = EIw
tmp = tmp.subs(xi,1)
pprint(tmp)

pprint("\nAt x = 3 m:")
tmp /= EI
w = tmp.subs(sub_list)

pprint("\nwq / mm:")
tmp = w.subs([(q, q_), (FB, 0), (MB, 0)])
printout(tmp, unit=mm, prec=2, sub_list=[])

pprint("\nwFB / mm:")
tmp = w.subs([(q, 0), (FB, FB_), (MB, 0)])
printout(tmp, unit=mm, prec=2, sub_list=[])

pprint("\nwMB / mm:")
tmp = w.subs([(q, 0), (FB, 0), (MB, MB_)])
printout(tmp, unit=mm, prec=2, sub_list=[])

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.