2.4.3.A
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Gegeben
Symbole :
\[a, q, E, I\]
Größen :
\[\begin{split}a &= 4 \, \mathrm{m} \\
q &= 10 \, \tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \\
E &= 210 \, \mathrm{GPa} \\
I &= 4000 \, \mathrm{cm^4}\end{split}\]
Lösung auf einer Seite
1: \(q(x)\) berechnen. 2: Integrieren zur allgemeinen Lösung. 3: Randbedingungen in \(w, w', w'', w'''\) . 4: Integrationskonstanten berechnen. 5: Spezielle Lösung \(w\) .
a) Integration und allgemeine Lösung
Für die gegebene Symbole : Integrieren Sie folgende Gleichung für die gegebene verteilte Kraft:
\begin{align*}
EI w''''(x)&= q(x) \\
EI w'''&= \dots \\
EI w''&= \dots \\
EI w'&= \dots \\
EI w&= \dots
\end{align*}
Lösung
Mit \(q(x) = q\) :
\begin{align} \label{eq-2.4.2-I}
EI w'''' &= q \\
EI w''' &= q x + C_1 \tag{i1} \\
EI w'' &= \tfrac12 q x^2 + C_1 x + C_2 \tag{i2} \\
EI w' &= \tfrac16 q x^3 + \tfrac12 C_1 x^2 + C_2 x + C_3 \tag{i3} \\
EI w &= \tfrac{1}{24} q x^4 + \tfrac16 C_1 x^3 + \tfrac12 C_2 x^2 + C_3 x + C_4 \tag{i4}
\end{align}
b) Randbedingungen
Für die gegebene Symbole : Geben Sie Randbedingungen an. Es gibt:
Lösung
Vier Randbedingungen bei \(x=0\) und \(x=a\) :
\begin{align} \label{eq-2.4.2-B}
w(x=0) &= 0 \tag{b1} \\
w'(x=0)&= 0 \tag{b2} \\
w(x=a) &= 0 \tag{b3} \\
w''(x=a)&= 0 \tag{b4}
\end{align}
Details
Die letzte Gleichung folgt aus:
\[M(a) = -EI w''(a) = 0\]
c) Berechnung der Integrationskonstanten
Für die gegebene Symbole : Berechnen Sie die 4 Integrationskonstanten.
Lösung
Auswertung der Randbedingungen: Einsetzen von:
liefert folgende vier Gleichungen für \(C_1, C_2, C_3, C_4\) :
\begin{align}
C_4 &= 0 \\
C_3 &= 0 \\
\tfrac{1}{24} q a^4 + \tfrac16 C_1 a^3 + \tfrac12 C_2 a^2 &= 0 \\
\tfrac12 q a^2 + C_1 a + C_2 &= 0
\end{align}
Lösung:
\[(C_1, C_2, C_3, C_4) = \left( - \tfrac{5}{8} a q, \tfrac{1}{8} q a^{2}, 0, 0\right)\]
d) Spezielle Lösung
Für die gegebenen Symbole : Berechnen Sie die spezielle Lösung sowie deren Ableitungen:
\[w = \dots \quad,\quad w' = \dots \quad,\quad w'' \dots \quad,\quad w''' = \dots\]
Zeigen Sie auch, dass:
\[w
=
\tfrac{a^{4} q}{EI} \left\{\tfrac{1}{24}\xi^4 - \tfrac{5}{48} \xi^3 + \tfrac{1}{16}\xi^2\right\}\]
für \(\xi = \tfrac x a\) .
Lösung
Einsetzen der berechneten \(C_1, C_2, C_3, C_4\) in die allgemeine Lösung ergibt die spezielle Lösung:
\begin{align}
w
&=
\tfrac{a^{4} q}{EI} \left\{\tfrac{1}{24}\left( \tfrac x a \right)^4 - \tfrac{5}{48} \left( \tfrac x a \right)^3 + \tfrac{1}{16}\left( \tfrac x a \right)^2\right\}
\\
w'
&=
\tfrac{a^{3} q}{EI} \left\{\tfrac{1}{6}\left( \tfrac x a \right)^3 - \tfrac{5}{16} \left( \tfrac x a \right)^2 + \tfrac{1}{8}\left( \tfrac x a \right)\right\}
\\
w''
&=
\tfrac{a^{2} q}{EI} \left\{\tfrac{1}{2}\left( \tfrac x a \right)^2 - \tfrac{5}{8} \left( \tfrac x a \right) + \tfrac{1}{8}\right\}
\\
w'''
&=
\tfrac{a q}{EI} \left\{\left( \tfrac x a \right) - \tfrac{5}{8}\right\}
\end{align}
e) Funktionsgraphen
Zeichnen Sie folgende Funktionen:
Für die gegebenen Symbole : \(w\, / \, \tfrac{qa^4}{EI}\) über \(x \,/\, a\)
Für die gegebenen Größen : \(w\, / \, \mathrm{mm}\) über \(x \,/\, \mathrm{m}\)
Lösung
f) Größte Verschiebung
Für die gegebenen Größen : Berechnen Sie die Position \(x^*\) , bei der \(w\) maximal ist. Mit anderen Worten: Berechnen Sie die Position \(x^*\) , sodass für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich gilt: \(w(x^*) \ge w(x).\)
Zeigen Sie, dass gilt:
\[\begin{split}x^* &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}31 \,\mathrm{m} \\
w(x^*) &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}65 \,\mathrm{mm}\end{split}\]
Lösung
Notwendige Bedingung dafür, dass \(w\) bei \(x^*\) maximal (oder minimal) wird:
\[w'(x^*) = 0\]
Einsetzen von \(w'\) von oben und Verwendung der Abkürzung:
\[\xi^* = \tfrac{x^*}{a}\]
liefert:
\[\begin{split}\tfrac{a^{3} q}{EI} \left\{\tfrac{1}{6}{\xi^*}^3 - \tfrac{5}{16} {\xi^*}^2 + \tfrac{1}{8}{\xi^*}\right\}
&= 0\qquad | \cdot 48 \,\,\, | \, \colon \tfrac{a^{3} q}{EI}
\\
8 {\xi^*}^3 - 15 {\xi^*}^2 + 6 {\xi^*} &= 0 \\
{\xi^*} \left\{8 {\xi^*}^2 - 15 {\xi^*} + 6\right\} &= 0\end{split}\]
Diese Gleichung hat drei verschiedene Lösungen:
\[\begin{split}\left(
\xi^*_0\,;\,\,
\xi^*_1\,;\,\,
\xi^*_2
\right)
&=
\left(
0 \,{;}\,
- \tfrac{\sqrt{33}}{16} + \tfrac{15}{16}\,{;}\,
\tfrac{\sqrt{33}}{16} + \tfrac{15}{16}
\right)
\\
&\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx}
\left(
0 \,{;}\,0{,}58 \,{;}\, \,1{,}30
\right)\end{split}\]
Details
Die Lösung \(\xi^*_0=0\) sieht man. Und die anderen beiden Lösungen lassen sich aus der folgenden Gleichung berechnen:
\[8 {\xi^*}^2 - 15 {\xi^*} + 6 =0\]
\(\xi^*_0\) : An dieser Position ist kein globales Maximum.
\(\xi^*_1= - \tfrac{\sqrt{33}}{16} + \tfrac{15}{16}\) : Dort ist ein globales Maximum. Verwendung der gegebenen Größen führt auf:
\[\begin{split}\left( \tfrac{x^*}{4\,\mathrm{m}} \right) &= - \tfrac{\sqrt{33}}{16} + \tfrac{15}{16} \\
x^* &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 2{,}31 \,\mathrm{m}\end{split}\]
Und die maximale Verschiebung ist:
\[w(x^*) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 1{,}65 \,\mathrm{mm}\]
\(\xi^*_2\) : Diese Position liegt nicht im Definitionsbereich.
Details
Nur die notwendige Bedingung für ein Maximum wurde geprüft, sodass man zunächst nicht sicher sein kann, dass an dieser Stelle wirklich ein Maximum existiert.
Der Graph der Funktion \(w\) zeigt aber, dass dort wirklich ein Maximum ist.
Um das auch rechnerisch zu zeigen, könnte man zeigen, dass \(w''\) an dieser Stelle negativ ist.
g) Lagerreaktionen
Berechnen Sie die Lagerreaktionen \(M_A, A_v, B_v\) . Und zwar:
Zeigen Sie, dass für die gegebenen Größen gilt:
\[\begin{split}M_A &= - 20 \, \mathrm{kNm} \\
A_v &= 25\, \mathrm{kN} \\
B_v &= 15\, \mathrm{kN}\end{split}\]
Lösung
\[\begin{split}M_A
&=
M(0) \\
&=
- EI w''(0) \\
\\
A_v
&= Q(0) \\
&= - EI w'''(0) \\
\\
B_v
&=- Q(a) \\
&=EI w'''(a)\end{split}\]
Einsetzen liefert:
für die gegebenen Symbole :
\[\begin{split}M_A &= - \tfrac18 q a^2 \\
A_v &= \tfrac{5}{8} qa \\
B_v &= \tfrac{3}{8} qa\end{split}\]
für die gegebenen Größen :
\[\begin{split}M_A &= - 20 \, \mathrm{kNm} \\
A_v &= 25\, \mathrm{kN} \\
B_v &= 15\, \mathrm{kN}\end{split}\]
