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2.4.3.B

Gegeben

Größen:

\[\begin{split}x_F &= 2 \, \mathrm{m}\\ x_B &= 6 \, \mathrm{m} \\ a &= 12 \, \mathrm{m} \\ F &= 1 \, \mathrm{kN}\\ EI &= 200 \, \mathrm{GPa} \cdot 1940\, \mathrm{cm}^4\end{split}\]

Berechnen Sie die Kräfte \(A, B, C\), die von den Lagern auf den (statisch unbestimmten) Balken wirken. Nehmen Sie zunächst an, dass die Kraft bei B gegeben ist.

1. Berechnen Sie die Verschiebung beim Lager B aufgrund der Kraft \(F\) mit \(B=0.\)

2. Berechnen Sie die Verschiebung beim Lager B aufgrund der Kraft \(B\) mit \(F=0.\)

3. Berechnen Sie die Kraft \(B\) bei B, sodass die Verschiebung \(w_B\) bei B insgesamt gleich Null ist.

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}A &= \tfrac{16}{27} F \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}0{,}593 \, F \\ \\ B &= \tfrac{13}{27} F \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}0{,}481 \, F \\ \\ C &= -\tfrac{2}{27} F \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}001}}{\approx}-0{,}074 \, F\end{split}\]

\(F\)	\(\alpha\)	\(\beta\)	\(\xi\)	\(\beta \xi\)	\(1 - \beta^2 - \xi^2\)	\(\langle \xi - \alpha \rangle^3\)	\(\tfrac{EIw_B}{a^3 / 6}\)
\(F\)	\(\tfrac 1 6\)	\(\tfrac 5 6\)	\(\tfrac 1 2\)	\(\tfrac{5}{12}\)	\(1 - \tfrac{25}{36} - \tfrac 1 4=\tfrac{1}{18}\)	\(\tfrac{1}{27}\)	\(\tfrac{13}{216}F\)
\(-B\)	\(\tfrac 1 2\)	\(\tfrac 1 2\)	\(\tfrac 1 2\)	\(\tfrac{1}{4}\)	\(1 - \tfrac{1}{4} - \tfrac 1 4 = \tfrac 1 2\)	\(0\)	\(-\tfrac{1}{8}B\)

\[\begin{split}\tfrac{13}{216}F - \tfrac{1}{8}B &= 0 \\ B &= \tfrac{13\cdot 8}{216}F \\ &= \tfrac{13}{27}F\end{split}\]

Formel aus der Literatur

Für die Querverschiebung \(w\) an einer Position \(x\) aufgrund einer Kraft \(F\) an der Position \(x_F\) eines Balkens der Länge \(a\) gilt:

\[EI w = \tfrac{F a^3}{6}\left\{ \beta \xi \left( 1 - \beta^2 - \xi^2 \right) + \langle \xi - \alpha \rangle^3 \right\}\]

mit \(\xi = \tfrac{x}{a}\) und \(\alpha = \tfrac{x_F}{a}\) und \(\beta = 1 - \alpha\) und mit der Föppl-Klammer (Macaulay Brackets) \(\langle \ldots \rangle\) mit \(n\ge 0\) gemäß:

\begin{align*} \langle \xi - \alpha \rangle^n &=\begin{cases} 0 & \mathrm{f\ddot ur}~\xi < \alpha \\ (\xi-\alpha)^n & \mathrm{f\ddot ur}~\xi > \alpha\end{cases} \end{align*}

	\(\alpha\)	\(\beta\)	\(\xi\)	\(\beta \xi\)	\(1 - \beta^2 - \xi^2\)	\(\langle \xi - \alpha \rangle^3\)	\(\tfrac{EIw_B}{a^3 / 6}\)
\(F\)
\(-B\)

Spielen

Zum Beispiel:

• Oben \(x_F\) = die Position vom roten \(F\) einstellen.

• Unten \(x_B\) = die Position vom Lager B einstellen.

Und dann \(B\) so einstellen, dass die lila Gesamt-Querverschiebung \(w\) beim Lager B gleich null ist. Dass also gilt:

\[w(x_B) = 0\]