2.4.3.D

Gegeben

Symbole:

\[a, q, EI\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 4 \, \mathrm{m} \\ q &= 10000 \, \tfrac{\mathrm N}{\mathrm{m}} \\ E &= 210 \, \mathrm{GPa} \\ I &= 4000 \, \mathrm{cm^4}\end{split}\]

Eurocodes

Das Flächenträgheitsmoment \(I = 4000 \, \mathrm{cm^4}\) entspricht ca. dem eines HEA-200-Profils nach DIN 1025-3, Euronorm 53-62, EN 1993-1-1:2005 aus Eurocode 3.
Eigenschaften derartiger Träger kann man berechnen auf dieser Page.

Berechnen Sie die Verschiebung \(w\) bei C - und die vertikalen Lagerreaktionen. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Allgemeine Lösung

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}w_1 &= \tfrac{C_{1}}{6} x_1^{3} + \tfrac{C_{2}}{2} x_1^{2} + C_{3} x_1 + C_{4} + \tfrac{q x_1^{4}}{24 EI}\\ w_2 &= \tfrac{C_{5}}{6} x_2^{3} + \tfrac{C_{6}}{2} x_2^{2} + C_{7} x_2 + C_{8}\end{split}\]

indem Sie folgende Gleichungen integrieren:

\[\begin{split}w_1'''' &= \tfrac{1}{EI} q \\ w_2'''' &= 0\end{split}\]

Geben Sie die Definitionsbereiche an für \(x_1\) und \(x_2\).

Lösung

Integration:

\begin{align} \label{eq-2.4.3.D-I} w_1'''' &=\tfrac{q}{EI}\\ w_1''' &= C_{1} + \tfrac{q}{EI} x_1\tag{i1}\\ w_1'' &= C_{1} x_1 + C_{2} + \tfrac{q x_1^{2}}{2 EI}\tag{i2}\\ w_1' &= \tfrac{C_{1}}{2} x_1^{2} + C_{2} x_1 + C_{3} + \tfrac{q x_1^{3}}{6 EI}\tag{i3}\\ w_1 &= \tfrac{C_{1}}{6} x_1^{3} + \tfrac{C_{2}}{2} x_1^{2} + C_{3} x_1 + C_{4} + \tfrac{q x_1^{4}}{24 EI}\tag{i4}\\ \\ w_2'''' &= 0 \\ w_2''' &= C_{5}\tag{i5}\\ w_2'' &= C_{5} x_2 + C_{6}\tag{i6}\\ w_2' &= \tfrac{C_{5}}{2} x_2^{2} + C_{6} x_2 + C_{7}\tag{i7}\\ w_2 &= \tfrac{C_{5}}{6} x_2^{3} + \tfrac{C_{6}}{2} x_2^{2} + C_{7} x_2 + C_{8}\tag{i8} \end{align}

mit:

\[\begin{split}0 & < x_1 < a \\ 0 & < x_2 < a\end{split}\]

b) Randbedingungen

Geben Sie acht Randbedingungen an für \(w, w', w'', w'''\). Und zwar:

2 Randbedingungen bei A,
2 Randbedingungen bei B und
4 Randbedingungen bei C.

Lösung

Rand- und Übergangsbedingungen:

bei A, also bei \(x_1=0\):

\begin{align} \label{eq-2.4.3.D-D} w_1(0) &= 0 \tag{b1}\\ EI w_1''(0) &= 0 \tag{b2}\\ \end{align}
bei B, also bei \(x_2 = a\):

\begin{align} w_2(a) &= 0 \tag{b3}\\ w_2'(a) &= 0 \tag{b4}\\ \end{align}
bei C, also bei \(x_1 = a\) und \(x_2 = 0\):

\begin{align} w_1(a) &= w_2(0) \tag{b5}\\ w_1'(a) &= w_2'(0) \tag{b6}\\ EI w_1''(a) &= EI w_2''(0) \tag{b7}\\ EI w_1'''(a) &= EI w_2'''(0)\tag{b8} \end{align}

Details

Zu den Übergangsbedingungen:

Gleichgewicht:

\[\begin{split}M_1(a) &= M_2(0)\\ Q_1(a) &= Q_2(0)\end{split}\]
Der Einfluss der verteilten Last \(q\) ist vernachlässigbar, weil \(q\) endlich ist und \({\mathsf d}x\) infinitesimal klein.
Diese RBn lassen sich umschreiben in die o.g. Gleichungen, denn:

\[\begin{split}M &= - EI w''\\ Q &= - EI w'''\end{split}\]

c) Integrationskonstanten berechnen

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}(C_1, C_2, C_3, C_4) &= \left(- \tfrac{41 a q}{64 EI}, 0, \tfrac{11 a^{3} q}{96 EI}, 0 \right) \\ (C_5, C_6, C_7, C_8) &= \left(\tfrac{23 a q}{64 EI}, - \tfrac{9 a^{2} q}{64 EI}, - \tfrac{5 a^{3} q}{128 EI}, \tfrac{19 a^{4} q}{384 EI} \right)\end{split}\]

Lösung

Einsetzen von (b1) - (b8) in die entsprechenden Gleichungen aus (i1) - (i8) ergibt acht Gleichungen für die Integrationskonstanten \((C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7, C_8)\). Als Lösung erhält man die angegebenen Größen.

d) Spezielle Lösung

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass die spezielle Lösung ist:

\[\begin{split}\tfrac{w_1}{\tfrac{qa^4}{EI}} &= \tfrac{1}{24} \left( \tfrac{x_1}{a} \right)^4 - \tfrac{41}{384} \left( \tfrac{x_1}{a} \right)^{3} + \tfrac{11}{96} \left( \tfrac{x_1}{a} \right) \\ \tfrac{w_2}{\tfrac{qa^4}{EI}} &= \tfrac{19}{384} - \tfrac{5}{128}\left( \tfrac{x_2}{a} \right) - \tfrac{9}{128} \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^{2} + \tfrac{23}{384} \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^{3}\end{split}\]

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass die Neigungswinkel-Funktion \(\psi=-w'\) ist:

\[\begin{split}\tfrac{\psi_1}{\tfrac{qa^3}{EI}} &= - \tfrac{1}{6} \left( \tfrac{x_1}{a} \right)^{3} + \tfrac{41}{128} \left( \tfrac{x_1}{a} \right)^{2} - \tfrac{11}{96} \\ \tfrac{\psi_2}{\tfrac{qa^3}{EI}} &= - \tfrac{23}{128} \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^{2} + \tfrac{9}{64} \left( \tfrac{x_2}{a} \right) + \tfrac{5}{128}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen der Konstanten \((C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7, C_8)\) in (i4) und (i8) liefert:

\[\begin{split}w_1 &= \tfrac{q}{EI} \left\{\tfrac{11 a^{3}}{96} x_1 - \tfrac{41 a}{384} x_1^{3} + \tfrac{1}{24}x_1^{4}\right\} \\ \tfrac{w_1}{\tfrac{qa^4}{EI}} &= \tfrac{1}{24} \left( \tfrac{x_1}{a} \right)^4 - \tfrac{41}{384} \left( \tfrac{x_1}{a} \right)^{3} + \tfrac{11}{96} \left( \tfrac{x_1}{a} \right) \\ w_2 &= \tfrac{q}{EI} \left\{\tfrac{19 a^{4}}{384} - \tfrac{5 a^{3}}{128}x_2 - \tfrac{9 a^{2}}{128} x_2^{2} + \tfrac{23 a}{384} x_2^{3}\right\} \\ \tfrac{w_2}{\tfrac{qa^4}{EI}} &= \tfrac{19}{384} - \tfrac{5}{128}\left( \tfrac{x_2}{a} \right) - \tfrac{9}{128} \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^{2} + \tfrac{23}{384} \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^{3}\end{split}\]

Mit \(\psi_1 = -w_1'\) und \(\psi_2 = -w_2'\):

\[\begin{split}\tfrac{\psi_1}{\tfrac{qa^3}{EI}} &= - \tfrac{1}{6} \left( \tfrac{x_1}{a} \right)^{3} + \tfrac{41}{128} \left( \tfrac{x_1}{a} \right)^{2} - \tfrac{11}{96} \\ \tfrac{\psi_2}{\tfrac{qa^3}{EI}} &= - \tfrac{23}{128} \left( \tfrac{x_2}{a} \right)^{2} + \tfrac{9}{64} \left( \tfrac{x_2}{a} \right) + \tfrac{5}{128}\end{split}\]

e) Funktionsgraphen

Visualisieren Sie die Querverschiebung \(w\) und den genäherten Neigungswinkel \(\psi = - w'\) durch das Zeichnen der Funktionsgraphen folgender Funktionen:

Für die gegebenen Symbole:
- \(w_1 \, / \, \tfrac{qa^4}{EI}\) und \(w_2 \, / \, \tfrac{qa^4}{EI}\) sowie
- \(\psi_1 \, / \, \tfrac{qa^3}{EI}\) und \(\psi_2 \, / \, \tfrac{qa^3}{EI}\)
über \(x_1 \, / \, a\) und \(x_2 \, / \, a\).
Für die gegebenen Größen: Zeichnen Sie:
- \(w_1 \, / \, \mathrm{mm}\) und \(w_2 \, / \, \mathrm{mm}\) sowie
- \(\psi_1 \, / \, \mathrm{deg}\) und \(\psi_2 \, / \, \mathrm{deg}\)
über \(x_1 \, / \, \mathrm{m}\) und \(x_2 \, / \, \mathrm{m}\).

Lösung

Für die gegebenen Symbole:

Bokeh Plot

Für die gegebenen Größen:

Bokeh Plot

Details

Für die Querverschiebung und die Neigung gilt:

\[\begin{split}w &= \tfrac{w}{\mathrm{mm}} \cdot \mathrm{mm} &= \tfrac{w}{\tfrac{qa^4}{EI}} \cdot \tfrac{qa^4}{EI} \\ \psi &= \tfrac{\psi}{\mathrm{deg}} \cdot \mathrm{deg} &= \tfrac{\psi}{\tfrac{qa^3}{EI}}\cdot \tfrac{qa^3}{EI}\end{split}\]

Dasselbe neu notiert:

\[\begin{split}\tfrac{w}{\mathrm{mm}} &= \underbrace{\tfrac{qa^4}{EI \,\mathrm{mm}}}_{f_w} \tfrac{w}{\tfrac{qa^4}{EI}}\\ \tfrac{\psi}{\mathrm{deg}} &= \underbrace{\tfrac{qa^3}{EI\,\mathrm{deg}}}_{f_\psi} \cdot \tfrac{\psi}{\tfrac{qa^3}{EI}}\end{split}\]

Die oben gezeichneten Funktionsgraphen unterscheiden sich jeweils nur um einen Faktor.
\(f_w\): Faktor, mit dem man \(\tfrac{w}{\tfrac{qa^4}{EI}}\) multiplizieren muss, um daraus \(\tfrac{w}{\mathrm{mm}}\) zu berechnen.
\(f_\psi\): Faktor, mit dem man \(\tfrac{\psi}{\tfrac{qa^3}{EI}}\) multiplizieren muss, um daraus \(\tfrac{\psi}{\mathrm{deg}}\) zu berechnen.
Einsetzen der gegebenen Größen liefert:
- \(f_w \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 304{,}76\)
- \(f_\psi \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 4{,}37\)
Für die Querverschiebung \(w_C\) bei C in der Mitte des Balkens gilt z.B.:
- \(\tfrac{w_C}{\tfrac{qa^4}{EI}} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 0{,}0495\) und
- \(\tfrac{w_C}{\mathrm{mm}} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 15{,}08\).
Es gilt:

\[\begin{split}\tfrac{w_C}{\mathrm{mm}} &= \underbrace{\tfrac{qa^4}{EI \,\mathrm{mm}}}_{f_w} \tfrac{w_C}{\tfrac{qa^4}{EI}} \\ 15{,}08 &\approx 304{,}76 \cdot 0{,}0495.\end{split}\]

f) Verschiebung für Größen

Für die gegebenen Größen: Berechnen Sie die Verschiebung \(w_C\) bei C in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter). Zeigen Sie, dass:

\[w_C\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 15{,}08 \, \mathrm{mm}\]

Lösung

Verschiebung bei C:

\[\begin{split}w_C &= w_1(a) \\ &= \tfrac{19}{384}\tfrac{q a^{4}}{EI} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 15{,}08 \, \mathrm{mm}\end{split}\]

g) Lagerreaktionen

Berechnen Sie abhängig von den gegebenen Symbolen:

bei A: die Kraft, die vom Balken nach unten auf das Lager bzw. das Fundament wirkt.
bei B: die Kraft, die vom Balken nach unten auf Fundament wirkt.
bei B: das Moment, das vom Balken im Uhrzeigersinn auf das Fundament wirkt.

Lösung

Die Schnittgrößen bei \(x_1=0\) bzw. \(x_2=a\) sind bekannt, weil \(w\) und die Ableitungen \(w', w'', w'''\) bekannt sind.

Es gilt:

\begin{align} Q_1(0) &= -EI w_1'''(0) & Q_2(a) &= -EI w_2'''(a)\\ &=\tfrac{41}{64} q & &=-\tfrac{23}{64} qa \\ \\ & & M_2(a) &= -EI w_2''(a)\\ & & &=-\tfrac{7}{32} qa^2 \\ \end{align}

Aus den Freischnitten berechnet man die gesuchten Lagerreaktionen mit den Gleichgewichtsbedingungen:

\begin{align*} A_v &= Q_1(0) & B_v &= - Q_2(a) \\ &=\tfrac{41}{64} qa & &= \tfrac{23}{64} qa \\ \\ & & M_B &= M_2(a) \\ & & &=-\tfrac{7}{32} qa^2 \\ \end{align*}

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff, integrate, expand, collect

import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import linspace, full_like, array, arange

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

# use constants:
a, q, E, I = symbols('a, q, E, I')

sub_list=[
    ( a,    4   *m     ),
    ( q,   10   *kN/m  ),
    ( E,  210   *GPa   ),
    ( I, 4000   *cm**4 ),
    ]
EI = E*I

two = S(2)
f12 = S(1)/2
f32 = S(3)/2

# solve for these symbolsiables:
C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8 = symbols('C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8')
unknowns = [C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8]

x = symbols("x")

w1pppp = 1/EI * q
w1ppp = integrate(w1pppp,x) + C1
w1pp = integrate(w1ppp,x) + C2
w1p = integrate(w1pp,x) + C3
w1 =  integrate(w1p,x) + C4

w2pppp = 1/EI * 0
w2ppp = integrate(w2pppp,x) + C5
w2pp = integrate(w2ppp,x) + C6
w2p = integrate(w2pp,x) + C7
w2 =  integrate(w2p,x) + C8

bc1 = Eq(w1.subs(x,0), 0)                            # w1(0) = 0
bc2 = Eq(EI * w1pp.subs(x,0), 0)                     # EI w1''(0) = 0
bc3 = Eq(w1.subs(x,a), w2.subs(x,0))                 # w1(a) = w2(0)
bc4 = Eq(w1p.subs(x,a), w2p.subs(x,0))               # w1'(a) = w2'(0)
bc5 = Eq(EI * w1pp.subs(x,a), EI * w2pp.subs(x,0))   # EI w1''(a) = EI w2''(0)
bc6 = Eq(EI * w1ppp.subs(x,a), EI * w2ppp.subs(x,0)) # EI w1'''(a) = EI w2'''(0)
bc7 = Eq(w2.subs(x,a), 0)                            # w2(a) = 0
bc8 = Eq(w2p.subs(x,a), 0)                           # w2'(a) = 0

eqns = [bc1, bc2, bc3, bc4, bc5, bc6, bc7, bc8]

sol = solve(eqns, unknowns)
sC1 = sol[C1]
sC2 = sol[C2]
sC3 = sol[C3]
sC4 = sol[C4]
sC5 = sol[C5]
sC6 = sol[C6]
sC7 = sol[C7]
sC8 = sol[C8]

print("\nw1, w2:")
w1 = w1.subs({C1: sC1, C2: sC2, C3: sC3, C4: sC4})
w2 = w2.subs({C5: sC5, C6: sC6, C7: sC7, C8: sC8})
for w in [w1, w2]:
    w = expand(w)
    w = collect(w, q/EI)
    pprint(w)

# factors:
fw = q*a*a*a*a/EI
fp = q*a*a*a/EI

w1n = w1/fw
w2n = w2/fw
xi = symbols("xi")
pprint("\nw1 / ( (qa⁴) / (EI) ), w2 / ( (qa⁴) / (EI) ):")
tmp = expand(w1n)
tmp = tmp.subs(x/a, xi)
pprint(tmp)
tmp = expand(w2n)
tmp = tmp.subs(x/a, xi)
pprint(tmp)

w1p = diff(w1,x)
w2p = diff(w2,x)
w1pn = w1p/fp
w2pn = w2p/fp
pprint("\nψ1 / ( (qa³) / (EI) ), ψ2 / ( (qa³) / (EI) ):")
tmp = expand(-w1pn)
tmp = tmp.subs(x/a, xi)
pprint(tmp)
tmp = expand(-w2pn)
tmp = tmp.subs(x/a, xi)
pprint(tmp)

pprint("\nat C: w / mm:")
wC = w1.subs(x,a)
tmp = wC
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

pprint("\nat B: M:")
M = - EI * w2pp.subs(x,a)
M = M.subs({C5: sC5, C6: sC6})
pprint(M)
pprint("\nat B: M / Nm:")
tmp = M.subs(sub_list)
tmp /= N*m
pprint(tmp)

pprint("\nat B: Stress σ on upper surface / Pa:")
z = -100*mm
tmp = M/I*z
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= Pa
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

go_on = True
go_on = False

if go_on:
    pprint("\nQ:")
    pprint("at A:")
    w1pp=diff(w1p,x)
    w1ppp=diff(w1pp,x)
    Q = - EI*w1ppp.subs(x,0)
    pprint(Q)

    pprint("at B:")
    w2pp=diff(w2p,x)
    w2ppp=diff(w2pp,x)
    Q = - EI*w2ppp.subs(x,a)
    pprint(Q)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.