2.4.3.E

Gegeben

Symbole:

\[a, M_B > 0, E, I\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 4 \, \mathrm{m} \\ M_B &= 1000 \, \mathrm{kNm} \\ E &= 210 \, \mathrm{GPa} \\ I &= 4000 \, \mathrm{cm^4}\end{split}\]

a) Allgemeine Lösung

Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung sich darstellen lässt als folgendes Polynom mit zunächst unbekannten Integrationskonstanten \(C_1, C_2, C_3, C_4\):

\[w(x) = \tfrac{C_{1} x^{3}}{6} + \tfrac{C_{2} x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{4}\]

Lösung

\[EI w''''(x)= 0 \quad\Leftrightarrow \quad w''''(x) = 0\]

Integration liefert:

\begin{align} \label{eq-2.4.3.E-A} w''' &= C_{1} \tag{i1}\\ w'' &= C_{1} x + C_{2} \tag{i2}\\ w' &= \tfrac{C_{1} x^{2}}{2} + C_{2} x + C_{3} \tag{i3} \\ w &= \tfrac{C_{1} x^{3}}{6} + \tfrac{C_{2} x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{4} \tag{i4} \end{align}

Die letzte Gleichung nennt man die allgemeine Lösung.

b) Randbedingungen

Für die gegebene Symbole: Geben Sie vier Randbedingungen an. Also notieren Sie vier Aussagen für \(w\) oder \(w'\) oder \(w''\) oder \(w'''.\)

Lösung

\begin{align} \label{eq-2.4.3.E-B} w(0) &= 0 \tag{b1}\\ w'(0) &= 0 \tag{b2}\\ w(a) &= 0 \tag{b3}\\ - EI w''(a) = M(a) &= M_B \tag{b4} \end{align}

c) Integrationskonstanten

Zeigen Sie, dass:

\[(C_1, C_2, C_3, C_4) = \left( -\tfrac{3 M_B}{2 EI a}, \tfrac{M_B}{2 EI}, 0, 0 \right)\]

Lösung

Auswertung von (i4) bei \(x=0\) ergibt null wegen (b1):

\begin{align} w(0) &= 0 \Leftrightarrow C_4 = 0\tag{1} \end{align}
Auswertung von (i3) bei \(x=0\) ergibt null wegen (b2):

\begin{align} w'(0) &= 0 \Leftrightarrow C_3 = 0 \tag{2} \end{align}

Aus diesen beiden Aussagen liest man \(C_3=0\) und \(C_4=0\) ab. Und damit ist für zwei der 4 Konstanten gezeigt, was zu zeigen ist.

Auswertung von (i4) bei \(x=a\) ergibt null wegen (b3):

\begin{align} w(a) &= 0 \Leftrightarrow \tfrac{C_{1} a^{3}}{6} + \tfrac{C_{2} a^{2}}{2} =0 \tag{3} \end{align}

Auswertung von (i4) bei \(x=a\) und Multiplikation mit \(-EI\) ergibt \(M_B\) (b4):

\begin{align} - EI w''(a) &= M_B \Leftrightarrow -EI \left( C_{1} a + C_{2}\right) = M_B \tag{4} \end{align}
Aus diesen beiden Aussagen lassen sich \(C_1\) und \(C_2\) berechnen.

Anstatt \(C_1, C_2\) zu berechnen, kann man auch die gegebenen \(C_1\) und \(C_2\) in die letzten beiden Gleichungen einsetzen und zeigen, dass man zwei wahre Aussagen erhält.

\begin{align} -\tfrac{\tfrac{3 M_B}{2 EI a}a^{3}}{6} + \tfrac{\tfrac{M_B}{2 EI} a^{2}}{2} &=0 \tag{3'}\\ -EI \left( -\tfrac{3 M_B}{2 EI a} a + \tfrac{M_B}{2 EI}\right) &= M_B \tag{4'} \end{align}

Und damit ist auch für die verbliebenen zwei der 4 Konstanten gezeigt, was zu zeigen ist.

d) Spezielle Lösung

Berechnen Sie Querverschiebung und genäherten Neigungswinkel. Zeigen Sie, dass folgendes gilt:

Die Querverschiebung ist:

\begin{align} w = \tfrac{M_B a^2}{EI} \left\{ - \tfrac14 \left( \tfrac x a \right)^3 + \tfrac14 \left( \tfrac x a \right)^2 \right\} \end{align}
Der genäherte Neigungswinkel \(\psi = - w'\) ist:

\[\psi = \tfrac{M_B a}{EI} \left\{ \tfrac34 \left( \tfrac x a \right)^2 - \tfrac12 \left( \tfrac x a \right) \right\}\]

Lösung

Das zeigt man durch Einsetzen der berechneten Konstanten \(C_1, C_2, C_3, C_4\) in Gleichung (i4) bzw. (i3). Einsetzen der Konstanten liefert:

\[\begin{split}w &= \tfrac{-\tfrac{3 M_B}{2 EI a} x^{3}}{6} + \tfrac{\tfrac{M_B}{2 EI} x^{2}}{2} \\ &= \tfrac{M_B}{EI}\left\{ \tfrac{-\tfrac{3}{2 a} x^{3}}{6} + \tfrac{\tfrac{1}{2} x^{2}}{2} \right\}\\ &= \tfrac{M_B}{EI}\left\{ -\tfrac{3}{12 a} x^{3} + \tfrac{1}{4} x^{2} \right\}\\ &= \tfrac{M_B a^2}{EI}\left\{ -\tfrac{1}{4} \left( \tfrac x a \right)^3 + \tfrac{1}{4} \left( \tfrac x a \right)^2 \right\}\\ w' &= \tfrac{-\tfrac{3 M_B}{2 EI a} x^{2}}{2} + \tfrac{M_B}{2 EI} x \\ &= \tfrac{M_B}{EI}\left\{ \tfrac{-\tfrac{3}{2 a} x^{2}}{2} + \tfrac{1}{2} x\right\} \\ &= \tfrac{M_B}{EI}\left\{ -\tfrac{3}{4 a} x^{2} + \tfrac{1}{2} x\right\} \\ &= \tfrac{M_B a}{EI}\left\{ -\tfrac{3}{4} \left( \tfrac x a \right)^2 + \tfrac{1}{2} \left( \tfrac x a \right)\right\} \\ \psi &= \tfrac{M_B a}{EI}\left\{ \tfrac{3}{4} \left( \tfrac x a \right)^2 - \tfrac{1}{2} \left( \tfrac x a \right)\right\} \\\end{split}\]

e) Verschiebungs-Maximum-Position

Für die gegebenen Symbole: Zeigen Sie, dass die Querverschiebung \(w\) für \(M_B>0\) ein lokales Maximum hat bei \(x=\tfrac23 a\). Zeigen Sie dazu:

dass die erste Ableitung \(w'\) bei \(x=\tfrac23 a\) gleich null ist, d.h.:

\[w'\left(\tfrac23 a\right) = 0\]
dass die zweite Ableitung \(w''\) bei \(x=\tfrac23 a\) für \(M_B>0\) kleiner als null ist , d.h.:

\[w''\left(\tfrac23 a\right) < 0\]

Lösung

Zu zeigen:

\[w'\left(\tfrac23 a\right) = 0\]

Beweis:

\[\begin{split}w'(x) &= \tfrac{M_B a}{EI} \left\{ \tfrac12 \left( \tfrac x a \right) - \tfrac34 \left( \tfrac x a \right)^2 \right\} \\ w'\left(\tfrac23 a\right) &= \tfrac{M_B a}{EI} \left\{ \tfrac12 \left( \tfrac23 \right) - \tfrac34 \left( \tfrac23 \right)^2 \right\} \\ &= \tfrac{M_B a}{EI} \left\{ \tfrac13 - \tfrac34 \tfrac{4}{9} \right\} \\ &=0\end{split}\]
Zu zeigen:

\[w''\left(\tfrac23 a\right) < 0\]

Beweis:

\[\begin{split}w''(x) &= \tfrac{M_B}{EI} \left\{ \tfrac{1}{2} - \tfrac32 \left( \tfrac x a \right) \right\} \\ \\ w''\left(\tfrac23 a\right) &= \tfrac{M_B}{EI} \left\{ \tfrac{1}{2} - \tfrac32 \tfrac23 \right\} \\ &= -\tfrac12 \tfrac{M_B}{EI} \\ &< 0\end{split}\]

weil laut Aufgabenstellung gilt: \(M_B>0\). Weil \(M_B\) positiv ist, ist \(w''<0\) und dort ein Maximum. Falls \(M_B\) negativ wäre, wäre \(w''>0\) und dort ein Minimum.

f) Verschiebungs-Maximum

Berechnen Sie die maximale Querverschiebung. Zeigen Sie, dass:

\[w\left(\tfrac23a\right) = \tfrac{1}{27}\tfrac{M_B a^{2}}{EI}\]

Für die gegebene Größen: Zeigen Sie, dass:

\[w\left(\tfrac23a\right)\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 70{,}55 \, \mathrm{mm}\]

Lösung

Einsetzen von \(x=\tfrac23 a\) liefert das Ergebnis:

\[\begin{split}w\left(\tfrac23a\right) &= \tfrac{M_B a^2}{EI} \left\{ - \tfrac14 \left( \tfrac 2 3 \right)^3 + \tfrac14 \left( \tfrac 2 3 \right)^2 \right\} \\ &= \tfrac{M_B a^2}{EI} \left\{ - \tfrac14 \tfrac{8}{27} + \tfrac14 \tfrac{4}{9} \right\} \\ &= \tfrac{M_B a^2}{EI} \left\{ - \tfrac{2}{27} + \tfrac{3}{27} \right\} \\ &= \tfrac{1}{27}\tfrac{M_B a^{2}}{EI}\end{split}\]

g) Funktionsgraphen für Symbole

Zeichnen Sie folgende Funktionen:

\(w \,/ \,\tfrac{M_B a^2}{EI}\) über \(x \,/\, a\)
\(\psi \,/\, \tfrac{M_B a}{EI}\) über \(x \,/\, a\)

Lösung

\(w \,/ \,\tfrac{M_B a^2}{EI}\) über \(x \,/\, a\)
Bokeh Plot
\(\psi \,/\, \tfrac{M_B a}{EI}\) über \(x \,/\, a\)
Bokeh Plot

h) Funktionsgraphen für Größen

Zeichnen Sie folgende Funktionen:

\(w\, / \, \mathrm{mm}\) über \(x \,/\, \mathrm{m}\)
\(\psi \, / \, \mathrm{deg}\) über \(x \,/\, \mathrm{m}\)

Lösung

\(w\, / \, \mathrm{mm}\) über \(x \,/\, \mathrm{m}\)
Bokeh Plot

\(\psi \, / \, \mathrm{deg}\) über \(x \,/\, \mathrm{m}\)
Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff, integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp


# ---

a, MB, E, I = symbols('a, MB, E, I')

sub_list=[
    ( a,     4  *m     ),
    ( MB, 1000  *kN*m  ),
    ( E,   210  *GPa   ),
    ( I,  4000  *cm**4 ),
    ]

EI = E*I

C1, C2, C3, C4 = symbols('C1, C2, C3, C4')
unknowns = [C1, C2, C3, C4]

x = symbols("x")

wpppp = 1/EI * 0

def wppp(x):
    return integrate(wpppp,x) + C1
def wpp(x):
    return integrate(wppp(x),x) + C2
def wp(x):
    return integrate(wpp(x),x) + C3
def w(x):
    return integrate(wp(x),x) + C4

w_of_x = w(x)

bc1 = Eq(w(x).subs(x,0), 0)             # w(0)  = 0
bc2 = Eq(wp(x).subs(x,0), 0)            # w'(0) = 0
bc3 = Eq(- EI * wpp(x).subs(x,a), MB)   # - EI w''(a) = MB
bc4 = Eq(w(x).subs(x,a), 0)             # w(a)  = 0

eqns = [bc1, bc2, bc3, bc4]

sol = solve(eqns, unknowns)
sC1,sC2,sC3,sC4 = sol[C1],sol[C2],sol[C3],sol[C4]
w_of_x = w_of_x.subs([(C1, sC1), (C2, sC2), (C3, sC3), (C4, sC4)])

pprint("w(x):")
pprint(w_of_x)

xi = symbols("xi")
facw = MB*a*a/EI
facp = facw/a

def wn(xi):
    t1 = xi*xi/4
    t2 = - xi*xi*xi/4
    return t1 + t2
def pn(xi):
    t1 = -xi/2
    t2 = 3*xi*xi/4
    return t1 + t2

xi = symbols("xi")
pprint("\nw / ( (MB a²) / (EI) ):")
wn = wn(xi)
pprint(wn)

pprint("\nw'(ψ=2/3) / ( (MB a) / (EI) ):")
wp = diff(wn,xi)
wpp = diff(wp,xi)
tmp = wp.subs(xi, S(2)/3)
pprint(tmp)
pprint("\nw''(ψ=2/3) / ( MB / (EI) ):")
tmp = wpp.subs(xi, S(2)/3)
pprint(tmp)

pprint("\nwmax:")
wmax = w_of_x.subs(x,2*a/3)
pprint(wmax)
pprint("\nwmax / mm:")
wmax = wmax.subs(sub_list)
tmp = wmax
tmp /= mm
tmp = iso_round(tmp, 6)
pprint(tmp)
tmp = iso_round(tmp, 2)
pprint(tmp)

pprint("\nAv:")
wp = diff(w_of_x,x)
wpp = diff(wp, x)
wppp = diff(wpp, x)
Av = - EI*wppp.subs(x,0)
pprint(Av)

pprint("\nBv:")
Bv = + EI*wppp.subs(x,a)
pprint(Bv)

pprint("\nM(0):")
M = - EI*wpp.subs(x,0)
pprint(M)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.