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2.4.3.F

Gegeben

Symbole:

\[a, M_B, EI\]

Standard-Lösungsweg

Dgl. mit \(q = 0\) notieren und integrieren:

\[\begin{split}w'''' &= \tfrac{1}{EI} \cdot 0 \\ w''' &= C_1 \\ w'' &= C_1 x + C_2 \\ w' &= \tfrac 12 C_1 x^2 + C_2 x + C_3 \\ w &= \tfrac 16 C_1 x^3 + \tfrac 12 C_2 x^2 + C_3 x + C_4 \\\end{split}\]
Randbedingungen und allgemeine Lösung

\[\begin{split}w(x=0) &= 0 \\ w'(x=0) &= 0 \\ w(x=a) &= 0 \\ M(x=a) &= M_B \Leftrightarrow - EI w''(x=a) = M_B\end{split}\]

Auswertung der ersten beiden Randbedingungen liefert \(C_3 = 0\) und \(C_4 = 0\), sodass verbleibt:

\[\begin{split}w''' &= C_1 \\ w'' &= C_1 x + C_2 \\ w' &= \tfrac 12 C_1 x^2 + C_2 x\\ w &= \tfrac 16 C_1 x^3 + \tfrac 12 C_2 x^2\end{split}\]

Über \(w'''\) sowie \(w'\) haben wir keine Informationen. Wir verwenden daher nur zwei dieser 4 Gleichungen, nämlich:

\[\begin{split}w'' &= C_1 x + C_2 \\ w &= \tfrac 16 C_1 x^3 + \tfrac 12 C_2 x^2\end{split}\]

Auswerten der verbleibenden zwei Randbedingungen liefert:

\[\begin{split}- EI \left( C_1 a + C_2 \right) &= M_B \\ \tfrac 16 C_1 a^3 + \tfrac 12 C_2 a^2 &= 0\end{split}\]
Konstanten berechnen:

Lösen des LGS liefert:

\[\begin{split}C_{1} &= - \tfrac{3 M_B}{2 EI \, a} \\ C_{2} &= \tfrac{M_B}{2 EI}\end{split}\]
Einsetzen dieser Konstanten in die allgemeine Lösung \(w\) von oben liefert die spezielle Lösung:

\[w(x) = \tfrac{M_B a^2}{EI} \left(- \tfrac{1}{4}\xi^{3} + \tfrac{1}{4}\xi^{2}\right)\]

mit \(\xi = \tfrac x a.\)

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy import symbols, Eq, solve, pprint

a, EI = symbols("a, EI", positive = True)
MB = symbols("MB")

C1, C2 = symbols("C1, C2")

eq1 = Eq( -EI * (C1 * a + C2), MB )
eq2 = Eq(  C1 * a**3 / 6 + C2 * a**2 / 2 , 0 )

sol = solve([eq1, eq2], [C1, C2])

pprint("\nConstants of Integration:")
pprint(sol)

x = symbols("x")

C1, C2 = sol[C1], sol[C2]

w = C1 * x**3 / 6 + C2 * x**2 / 2

pprint("\nw(ξ):")
xi = symbols("xi")
w = w.subs(x, xi*a)
w = w.collect(MB*a**2/EI)
pprint(w)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.

a) Biegemoment

Zeigen Sie an einem Freikörperbild, dass:

\[M(x) = (a-x)B + M_B\]

mit der zunächst unbekannten Lagerkraft \(B\).

Lösung

\[M(x) = (a-x)B + M_B\]

Bemerkung

\(M(x)\) kann auch an einem Freikörperbild mit positivem Schnittufer berechnet werden, aber dazu müssten die Lagerreaktionen bei A bekannt sein oder zuvor berechnet werden.
Der Freischnitt mit negativem Schnittufer ermöglicht es, \(M(x)\) zu berechnen, ohne die Lagerreaktionen bei A zu kennen.

b) Integration und allgemeine Lösung

Zeigen Sie, dass:

\[w(x) = \tfrac{1}{EI} \left( \tfrac 1 6 B x^3 -\tfrac 1 2 (M_B + a B) x^2 + C_1 x + C_2 \right)\]

die allgemeine Lösung ist mit \(C_1\) und \(C_2\) als zunächst unbekannte Integrationskonstanten.

Lösung

\[\begin{split}EI w'' &= - M \\ &= - (a-x)B - M_B \\ &= B x - (M_B + a B) \\ EI w' &= \tfrac 1 2 B x^2 - (M_B + a B) x + C_1 \\ EI w &= \tfrac 1 6 B x^3 -\tfrac 1 2 (M_B + a B) x^2 + C_1 x + C_2\end{split}\]

c) Randbedingungen und spezielle Lösung

Geben Sie 2 Randbedingungen an, die bei A gelten. Zeigen Sie, dass aus diesen Randbedingungen folgt, dass:

\[\begin{split}C_1 &= 0\\ C_2 &= 0\end{split}\]

sodass:

\[\begin{split}w(x) &= \tfrac{a^3}{EI} \left( \tfrac 1 6 B \xi^3 -\tfrac 1 2 (M_B + a B) \xi^2 \right) \\ &= \tfrac{a^3}{EI} \left( (\tfrac{1}{6}\xi^{3} - \tfrac{1}{2}\xi^{2})B - \tfrac{1}{2} \tfrac{M_B }{a}\xi^{2} \right)\end{split}\]

mit \(\xi = \tfrac x a.\)

Lösung

Randbedingungen bei A:

\[\begin{split}w(x=0) &= 0 \\ w'(x=0) &= 0\end{split}\]

Diese zwei Aussagen eingesetzt in die allgemeine Lösung und die Ableitung der allgemeinen Lösung ergibt ein Lineares Gleichungssystem für die zwei Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\). Lösung:

\[\begin{split}C_1 &= 0\\ C_2 &= 0\end{split}\]

d) Weitere Randbedingung

Berechnen Sie \(B\) (abhängig von den gegebenen Symbolen), sodass gilt:

\[w(x=a)= 0\]

Zeigen Sie, dass:

\[B=-\tfrac 3 2 \tfrac{M_B}{a} \quad \Leftrightarrow \quad w(x=a)= 0\]

Zeigen Sie, dass mit diesem \(B\) gilt:

\[w(x) = \tfrac{M_B a^2}{EI} \left(- \tfrac{1}{4}\xi^{3} + \tfrac{1}{4}\xi^{2}\right)\]

Lösung

Einsetzen von \(B=-\tfrac 3 2 \tfrac{M_B}{a}\) in die spezielle Lösung liefert:

\[w = \tfrac{M_B a^2}{EI} \left\{ - \tfrac14 \xi^3 + \tfrac14 \xi^2 \right\}\]

Es gilt \(w=0\) für folgende Positionen:

\(x=0\), d.h. \(\xi = \tfrac x a = 0\)
\(x=a\), d.h. \(\xi = \tfrac x a = 1\)

f) Funktionsgraph

Sei wie oben:

\[w = \tfrac{M_B a^2}{EI} \left\{ - \tfrac14 \xi^3 + \tfrac14 \xi^2 \right\}\]

Seien ab hier folgende Größen gegeben:

\[\begin{split}a &= 4 \, \mathrm{m} \\ M_B &= 1000 \, \mathrm{kNm} \\ E &= 210 \, \mathrm{GPa} \\ I &= 4000 \, \mathrm{cm^4}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass mit diesen Größen gilt:

\[\tfrac{w}{\mathrm{mm}} = \tfrac{10000}{21} \left(- \xi^3 + \xi^2 \right)\]

Zeichnen Sie \(w\) in \(\mathrm{mm}\) (Millimeter) über \(x\) in \(\mathrm{m}\) (Meter).

Lösung

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import expand, collect, diff, integrate

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

kNm       =  kN*m

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

f22, f32, f42 = S(2)/2, S(3)/2, S(4)/2

a, MB, EI, B = symbols('a, MB, EI, B')
x, xi = symbols("x, xi")
M = (a - x) * B + MB


C1, C2 = symbols('C1, C2')
wpp = - 1/EI * M
wp = integrate(wpp,x) + 1/EI*C1
w =  integrate(wp,x) + 1/EI*C2
pprint("\nEI w:")
w = expand(w)
w = collect(w,B)
w = w.simplify()
pprint(w*EI)

# w(0)  = 0
# w'(0) = 0
bc1 = Eq(w.subs(x,0), 0)
bc2 = Eq(wp.subs(x,0), 0)

pprint("\nC1, C2:")
eqns = [bc1, bc2]
unknowns = [C1, C2]
sol = solve(eqns, unknowns)
sC1 = sol[C1]
sC2 = sol[C2]
pprint(sC1)
pprint(sC2)

pprint("\nEI w for unknown B:")
w = w.subs({C1: sC1, C2: sC2})
w = w.subs(x, xi*a)
EIw1 = EI*w
tmp = EIw1.expand()
tmp = collect(tmp,B*a**3)
pprint(tmp)

pprint("\nEI w for known B:")
wB = w.subs(xi,1)
sol = solve(Eq(wB,0) , B)
sB = sol[0]
tmp = w.subs(B, sB)
EIw2 = tmp*EI
tmp = EIw2
tmp = tmp.expand()
tmp = collect(tmp,MB*a**2)
pprint(tmp)

pprint("\nEI ψ:")
# xi = x/a
# d/dxi = d/dx a
EIp = - diff(EIw2, xi)/a
tmp = EIp.expand()
tmp = collect(tmp,MB*a)
pprint(tmp)
pprint("\nw / mm for quantities:")
sub_list=[
    ( a,     4  *m               ),
    ( MB,  1000  *kNm             ),
    ( EI,  210*GPa * 4000*cm**4  ),
    ]

w = EIw2 / EI
tmp = w.subs(sub_list)
tmp = tmp.expand()
tmp /= mm
tmp = tmp.expand()
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

pprint("\nψ / deg for quantities:")
tmp = EIp/EI
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp = tmp.expand()
tmp /= deg
tmp = tmp.simplify()
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.