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2.4.3.G

Ähnliche Aufgabe

2.4.3.C

Gegeben

Symbole:

\[a, q, E, I\]

Lösung auf einer Seite

../../../../_images/all.X12.png — 1: \(q(x)\) berechnen. 2: Integrieren zur allgemeinen Lösung. 3: Randbedingungen in \(w, w', w'', w'''\). 4: Integrationskonstanten berechnen. 5: Spezielle Lösung \(w\).

a) Allgemeine Lösung

Für die gegebene Symbole: Integrieren Sie folgende Gleichung für die gegebene verteilte Kraft:

\begin{align*} EI w''''(x)&= q(x) \\ EI w'''&= \dots \\ EI w''&= \dots \\ EI w'&= \dots \\ EI w&= \dots \end{align*}

Zeigen Sie, dass die Allgemeine Lösung mit vier Integrationskonstanten notiert werden kann als:

\[EI w = \tfrac{1}{24} q x^4 + \tfrac16 C_1 x^3 + \tfrac12 C_2 x^2 + C_3 x + C_4\]

Lösung

Mit \(q(x) = q\):

\begin{align} \label{eq-2.4.2-I} EI w'''' &= q \\ EI w''' &= q x + C_1 \tag{i1} \\ EI w'' &= \tfrac12 q x^2 + C_1 x + C_2 \tag{i2} \\ EI w' &= \tfrac16 q x^3 + \tfrac12 C_1 x^2 + C_2 x + C_3 \tag{i3} \\ EI w &= \tfrac{1}{24} q x^4 + \tfrac16 C_1 x^3 + \tfrac12 C_2 x^2 + C_3 x + C_4 \tag{i4} \end{align}

b) Randbedingungen

Für die gegebene Symbole: Geben Sie vier Randbedingungen an: Zwei bei \(x=0\) und zwei bei \(x=a\).

Lösung

Vier Randbedingungen bei \(x=0\) und \(x=a\):

\begin{align} \label{eq-2.4.2-B} w(x=0) &= 0 \tag{b1} \\ w'(x=0)&= 0 \tag{b2} \\ w(x=a) &= 0 \tag{b3} \\ w'(x=a)&= 0 \tag{b4} \end{align}

c) Spezielle Lösung

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die spezielle Lösung sowie deren Ableitungen:

\[w = \dots \quad,\quad w' = \dots \quad,\quad w'' \dots \quad,\quad w''' = \dots\]

Zeigen Sie auch, dass:

\begin{align} \label{eq-2.4.3.G-w} w = \tfrac{q a^{4}}{EI} \left\{\tfrac{1}{24}\xi^4 - \tfrac{1}{12} \xi^3 + \tfrac{1}{24}\xi^2\right\} \tag{w} \end{align}

für \(\xi = \tfrac x a\).

Lösung

\[\begin{split}w(0)=0 &\leadsto C_4 = 0 \\ w'(0)=0 &\leadsto C_3 = 0 \\\end{split}\]

Weitere Randbedingungen sind:

\[\begin{split}w(a)&=0 \\ w'(a)&= 0\end{split}\]

Diese zwei Aussagen sowie die zuvor berechneten \(C_3, C_4\) führen auf:

\[\begin{split}C_1 &= - \tfrac 1 2 q a \\ C_2 &= \tfrac{1}{12} q a^2\end{split}\]

Einsetzen der berechneten \(C_1, C_2, C_3, C_4\) in die allgemeine Lösung ergibt die spezielle Lösung:

\begin{align} w &= \tfrac{qa^{4}}{EI} \left\{\tfrac{1}{24}\left( \tfrac x a \right)^4 - \tfrac{1}{12} \left( \tfrac x a \right)^3 + \tfrac{1}{24}\left( \tfrac x a \right)^2\right\} \\ w' &= \tfrac{qa^{3}}{EI} \left\{\tfrac{1}{6}\left( \tfrac x a \right)^3 - \tfrac{1}{4} \left( \tfrac x a \right)^2 + \tfrac{1}{12}\left( \tfrac x a \right)\right\} \\ w'' &= \tfrac{qa^{2}}{EI} \left\{\tfrac{1}{2}\left( \tfrac x a \right)^2 - \tfrac{1}{2} \left( \tfrac x a \right) + \tfrac{1}{12}\right\} \\ w''' &= \tfrac{qa}{EI} \left\{\left( \tfrac x a \right) - \tfrac{1}{2}\right\} \end{align}

d) Größte Querverschiebung

Sei \(q > 0\). Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Querverschiebung \(\max w\) in der Mitte bei \(\tfrac x a = \tfrac 1 2\).

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\max w &= w (x = \tfrac 1 2 a) \\ &= \tfrac{1}{384} \tfrac{qa^4}{EI}\end{split}\]

Lösung

Einsetzen von \(\tfrac x a = \tfrac 1 2\) in (w) liefert:

\[\begin{split}\max w &= w (x = \tfrac 1 2 a) \\ &= \tfrac{q a^{4} }{EI} \left\{\tfrac{1}{24}\left( \tfrac 1 2 \right)^4 - \tfrac{1}{12} \left( \tfrac 1 2 \right)^3 + \tfrac{1}{24}\left( \tfrac 1 2 \right)^2\right\} \\ &= \tfrac{q a^{4} }{EI} \left\{\tfrac{1}{384}- \tfrac{1}{96} + \tfrac{1}{96}\right\} \\ &=\tfrac{1}{384} \tfrac{qa^4}{EI}\end{split}\]

e) Funktionsgraph

Für die gegebenen Symbole: Zeichnen Sie: \(\frac{384 w}{qa^4 / (EI)}\) über \(\tfrac x a\).

Lösung

Verwendung von (w) liefert:

\[\begin{split}\tfrac{384 w}{qa^4 / (EI)} &= 384 \left\{\tfrac{1}{24}\left( \tfrac x a \right)^4 - \tfrac{1}{12} \left( \tfrac x a \right)^3 + \tfrac{1}{24}\left( \tfrac x a \right)^2\right\}\\ &= 16 \left( \tfrac x a \right)^4 - 32 \left( \tfrac x a \right)^3 + 16 \left( \tfrac x a \right)^2 \\\end{split}\]

Um den Funktionsgraph dieser Funktion zu zeichnen, kann man eine Wertetabelle verwenden:

\(\left( \tfrac x a \right)\)	\(16\left( \tfrac x a \right)^4\)	\(-32\left( \tfrac x a \right)^3\)	\(16\left( \tfrac x a \right)^2\)	\(\tfrac{384 w}{qa^4 / (EI)}\)
\(\tfrac 0 4\)	\(\tfrac{0}{16}=0\)	\(-\tfrac{0}{2}=0\)	\(16 \cdot \tfrac{0}{16}=0\)	\(0\)
\(\tfrac 1 4\)	\(\tfrac{1}{16}\)	\(-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{8}{16}\)	\(16 \cdot \tfrac{1}{16}=\tfrac{16}{16}\)	\(\tfrac{9}{16}=0{,}5625\)
\(\tfrac 2 4\)	\(\tfrac{16}{16}=1\)	\(-\tfrac{8}{2}=-4\)	\(16 \cdot \tfrac{4}{16}=4\)	\(1\)
\(\tfrac 3 4\)	\(\tfrac{81}{16}\)	\(-\tfrac{27}{2}=-\tfrac{216}{16}\)	\(16 \cdot \tfrac{9}{16}=\tfrac{144}{16}\)	\(\tfrac{9}{16}=0{,}5625\)
\(\tfrac 4 4\)	\(\tfrac{256}{16}=16\)	\(-\tfrac{64}{2}=-32\)	\(16 \cdot \tfrac{16}{16}=16\)	\(0\)

Auch ohne Tabelle lässt sich der Funktionsgraph zeichnen. Es gilt:

An den Rändern ist der Funktionswert gleich null.
An den Rändern und in der Mitte ist die Steigung gleich null.
In der Mitte ist der Funktionswert gleich eins.
Der Funktionsgraph ist symmetrisch.

Bokeh Plot

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import diff

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

a, q, E, I = symbols('a, q, E, I')

sub_list=[
    ( a,     4   *m         ),
    ( q,    10   *kN / m    ),
    ( E,   210   *GPa       ),
    ( I,  4000   *cm**4     ),
    ]

EI = E*I

C1, C2 = symbols('C1, C2')
eqns = [
    Eq(0, q/24*a**4 + C1/6*a**3 + C2/2*a**2),
    Eq(0, q/6*a**3 + C1/2*a**2 + C2*a),
    ]

sol = solve(eqns, [C1, C2])

C1 = sol[C1]
C2 = sol[C2]

x = symbols("x")
wx = q/24*x**4 + C1/6*x**3 + C2/2*x**2

xi = symbols('xi')
wxi = wx.subs(x, xi*a)
wxi /= q*a**4
wxi = wxi.expand()

print("\nw / ( (qa⁴) / (EI) ):")
pprint(wxi)

# ξ = x/a 
# d/dξ = 1/a d/dx
print("\nw' / ( (qa³) / (EI) ):")
wp = diff(wxi,xi)
pprint(wp)

print("\nw'' / ( (qa²) / (EI) ):")
wpp = diff(wp,xi)
pprint(wpp)

print("\nw''' / ( (qa) / (EI) ):")
wppp = diff(wpp,xi)
pprint(wppp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.