2.4.4.A

Gegeben

Symbole:

\[a, b, F\]

Und davon abhängig:

\[\begin{split}\bar z_S &= \tfrac 9 4 b\\ I_{yy} &= \tfrac{53}{4} b^{4}\end{split}\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 1 \,\mathrm{m}\\ b &= 2 \,\mathrm{mm} \\ F &= 1 \,\mathrm{N}\end{split}\]

Berechnen Sie die Zug- und Druckspannungen am Querschnitt bei M. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen. Und zwar

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen.

Lösung

Lösung siehe Aufgabe 1.5.F:

für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}A_{h} &= 0 \\ A_{v} &= 2 F \\ B_{v} &= 2 F\end{split}\]
für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}A_{h} &= 0 \,\mathrm{N} \\ A_{v} &= 2 \,\mathrm{N} \\ B_{v} &= 2 \,\mathrm{N}\end{split}\]

b) Normalkraft und Moment

Berechnen Sie die Normalkraft \(N_M\) und das Moment \(M_M\) in der Mitte bei M:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen.

Lösung

für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}N_M &= - F \\ M_M &= 2 a \cdot 2 F - a F \\ &= 3 a F\end{split}\]
für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}N_M &= - 1 \,\mathrm{N} \\ M_M &= 3 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

c) Normalspannung

Sei:

\(\sigma_o\): Normalspannung auf der Profil-Oberseite bei M.
\(\sigma_u\): Normalspannung auf der Profil-Unterseite bei M.

Berechnen Sie \(\sigma_o\) und \(\sigma_u\)

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen , und zwar in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}01\).

Lösung

Sei:

\(z_o = - \tfrac94 b\): Die \(z\)-Position der Teilchen auf der Oberseite.
\(z_u = + \tfrac74 b\): Die \(z\)-Position der Teilchen auf der Unterseite.

Für die Normalspannung bei M gilt an Ober- bzw. an Unterseite:

\[\begin{split}\sigma_o &= \tfrac{N_M}{A} + \tfrac{M_M}{I_{yy}} z_o \\ \sigma_u &= \tfrac{N_M}{A} + \tfrac{M_M}{I_{yy}} z_u\end{split}\]

Einsetzen von:

\[\begin{split}N_M &= - F \\ A &= 12 b^2 \\ M_M &= 3 aF \\ I_{yy} &= \tfrac{53 b^{4}}{4} \\\end{split}\]

liefert für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}\sigma_o &= - \tfrac{F}{12 b^{2}} - \tfrac{27 F a}{53 b^{3}} \\ \sigma_u &= - \tfrac{F}{12 b^{2}} + \tfrac{21 F a}{53 b^{3}}\end{split}\]

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[\begin{split}\sigma_o &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} - 63{,}70 \, \mathrm{MPa} \\ \sigma_u &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}01}}{\approx} 49{,}51 \, \mathrm{MPa}\end{split}\]

Für \(F>0\): Druck auf Oberseite, Zug auf Unterseite.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

a, b = symbols("a, b")
F = symbols("F")

sub_list= [
    ( a,      1 *m   ),
    ( b,      2 *mm  ),
    ( F,      1 *N   ),
    ]

pprint("A / mm²:")
A = 12*b*b
tmp = A
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= mm**2
pprint(tmp)

Iyy = 53*b**4/4

N_M = -F
M_M = 3*a*F
print("\nσ for zo and zu:")
for z in [- 9*b/4, 7*b/4]:
    print("\nσ:")
    sigN = N_M / A
    sigM = M_M / Iyy * z
    sig = sigN + sigM
    pprint(sig)

    print("\nσ / MPa:")
    tmp = sig
    tmp = tmp.subs(sub_list)
    tmp /= MPa
    tmp = iso_round(tmp, 2)
    pprint(tmp)
    pprint("\n")

Programm ausführen? Dazu:

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Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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