2.4.4.C

Gegeben

Symbole:

\[d, a, \sigma_{\mathsf{zul}}, q>0, d \qquad F = 3 q a > 0, W_y = \tfrac{\pi}{32}d^3\]

Balken mit Kreis-Querschnitt.

Berechnen Sie die verteilte Kraft \(q\) derart, dass die betragsmäßig größte auftretende Normalspannung \(\sigma_{\mathsf{max}}\) genauso groß ist wie die zulässige Normalspannung \(\sigma_{\mathsf{zul}}\).

Gehen Sie wie folgt vor:

a) Moment

Berechnen Sie das Biegemoment im Bereich 1 und im Bereich 2, also:

\[\begin{split}M_1(x_1) &= \dots \\ M_2(x_2) &= \dots\end{split}\]

Schneiden Sie dazu an einer beliebigen Stelle \(x_1\) bzw. \(x_2\) frei.

Lösung

b) Betragsmäßig größtes Moment

Berechnen Sie das (positive oder negative) Biegemoment \(M_1^*\) , dessen Betrag am größten ist, und zwar unter allen im Bereich 1 auftretenden Biegemomenten.

\[M_1^* = \dots\]

Und berechnen Sie das (positive oder negative) Biegemoment \(M_2^*\) , dessen Betrag am größten ist, und zwar unter allen im Bereich 2 auftretenden Biegemomenten.

\[M_2^* = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}M_1^* &= - \tfrac12 q a^2 \\ M_2^* &= -\tfrac 32 q a^2\end{split}\]

c) Ableitung der Moment-Funktion

Berechnen Sie die erste Ableitung von \(M_2(x_2)\), also:

\[M_2'(x_2) = \dots\]

Berechnen Sie die Nullstelle dieser ersten Ableitung, also das \(x_2^*\), für das gilt:

\[M_2'(x_2^*) = 0\]

Lösung

\[\begin{split}M_2'(x_2) &= 2 q a - q x_2 \\ x_2^* &= 2 a\end{split}\]

d) Betrag des Momentvektors

Berechnen Sie den Betrag (die Norm) des Momentvektors im Bereich 2 an den drei Stellen:

\[\begin{split}x_2&=0\\ x_2&=x_2^*\\ x_2&=4a\end{split}\]

Berechnen Sie also:

\[\begin{split}M_2(0)&= \dots \\ \left|M_2(0)\right| &= \dots \\ \\ M_2(x_2^*)&= \dots \\ \left|M_2(x_2^*)\right| &= \dots \\ \\ M_2(4a)&= \dots \\ \left|M_2(4a)\right| &= \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}M_2(0) &= -\tfrac12 q a^2\\ \left|M_2(0)\right| &= \tfrac12 q a^2 \\ \\ M_2(2a) &= -\tfrac12 q a^2 +2 q a 2a -\tfrac12 q 4a^2 \\ &= q a^2( -\tfrac12 +4 - 2) \\ \left|M_2(2a)\right| &= \tfrac 32 q a^2\\ \\ M_2(4a) &= -\tfrac12 q a^2 +2 q 4 a^2 -\tfrac12 q 16 a^2 \\ &= q a^2( -\tfrac12 +8 -8) \\ \left|M_2(4a)\right| &= \tfrac12 q a^2\end{split}\]

e) Betragsmäßig größte Normalspannung

Berechnen Sie die (positive oder negative) Normalspannung \(\sigma^*\) , der Betrag am größten ist, und zwar unter allen im Balken auftretenden Normalspannungen.

\[\sigma^* = \dots\]

Lösung

Wegen \(q>0\) ist das maximale Moment gleich \(\tfrac 32 q a^2.\)

\[\begin{split}\sigma^* &= \pm \tfrac{\tfrac32 q a^2}{\tfrac{\pi}{32}d^3} \\ &= \pm \tfrac{48 q a^2}{\pi d^3}\end{split}\]

f) Maximale verteilte Kraft

Berechnen Sie die verteilte Kraft \(q\) derart, dass die größte im Balken auftretende Normalspannung genauso groß ist wie die zulässige Normalspannung \(\sigma_{\mathsf{zul}}\).

Lösung

\[\begin{split}\tfrac{48 q a^2}{\pi d^3} &= \sigma_{\mathsf{zul}} \\ q &= \sigma_{\mathsf{zul}} \tfrac{\pi d^3}{48 a^2}\end{split}\]