2.4.4.D

Zu tun

Geometrie-Bemaßung leicht verändern, sodass das FTM leichter zu berechnen ist, siehe 2.4.4.E.

Gegeben

Symbole:

\[h, b, t_s, t_g, Q_z\]

Profil ähnlich HEA/IPBL 200 Stahl-Träger nach DIN 1025-3:1994-03.
Querkraft \(Q_z\) (Schnittkraft in \(z\)-Richtung).

Berechnen Sie den Betrag der (über die Dicke konstant angenommenen) Schubspannungen der Teilchen an den Querschnitten A und B. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Flächenträgheitsmoment

Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment bezogen auf den Schwerpunkt S unter folgenden Annahmen:

Die Gurte seien dünn, sodass nur ihre Steiner-Anteile berücksichtigt werden.
Die Höhe des Stegs sei \(h\), sodass die die kleinen Rechteckflächen am Übergang zwischen Steg und Gurten doppelt gezählt werden.

\[I_{yy} = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}I_{yy}^{\mathsf{Steg}} &= \tfrac{h^{3} t_{s}}{12} \\ I_{yy}^{\mathsf{Gurt}} &= \tfrac{h^2}{4}b t_g \\ I_{yy} &= I_{yy}^{\mathsf{Steg}} + 2 I_{yy}^{\mathsf{Gurt}}\\ &= \tfrac{h^{2}}{12} \left(6 b t_{g} + h t_{s}\right)\end{split}\]

b) Statisches Moment bei A

Berechnen Sie das Statische Moment bei A. Verwenden Sie hierbei die Fläche rechts von A.

\[S_{yA} = \dots\]

Lösung

Definition der des Flächeninhalts der lila Fläche und der \(z\)-Position des Flächenmittelpunkts dieser Fläche:

\[\begin{split}A_1 &= \tfrac12 b t_g \\ z_1 &= \tfrac12 h\end{split}\]

Statisches Moment dieser Fläche:

\[\begin{split}S_{yA} &= z_1 A_1 \\ &= \tfrac{b h t_{g}}{4}\end{split}\]

c) Statisches Moment bei B

Berechnen Sie das Statische Moment bei B. Verwenden Sie hierbei die Fläche unterhalb von B.

\[S_{yB}= \dots\]

Lösung

Statisches Moment der aus 3 lila Flächen zusammengesetzten Fläche:

\[\begin{split}S_{yB} &= 2 z_1 A_1+ z_2 A_2\\ &= \tfrac{h}{8} \left(4 b t_{g} + h t_{s}\right)\end{split}\]

d) Schubspannung für Symbole

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie die Schubspannung bei A und bei B:

\[\begin{split}\tau_A &= -\tfrac{S_{yA} Q_z}{I_{yy} t} = \dots \\ \tau_B &= \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\tau_A &= - \tfrac{S_{yA} Q_z}{I_{yy} t_g} \\ &= \dots \\ &= - \tfrac{3 Q_z b}{h \left(6 b t_{g} + h t_{s}\right)}\end{split}\]

\[\begin{split}\tau_B &= -\tfrac{S_{yB} Q_z}{I_{yy} t_s} \\ &= \dots \\ &= -\tfrac{3 Q_z \left(4 b t_{g} + h t_{s}\right)}{2 h t_{s} \left(6 b t_{g} + h t_{s}\right)}\end{split}\]

e) Schubspannungen für Größen

Berechnen Sie die Schubspannungen in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) für folgende Größen:

\[\begin{split}h &= 190\,\mathrm{mm} \\ b &= 200\,\mathrm{mm} \\ t_s &= 6{,}5 \,\mathrm{mm} \\ t_g &= 10 \,\mathrm{mm} \\ Q_z &= 100 \, \mathrm{kN}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\tau_A &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 23{,}9 \, \mathrm{MPa} \\ \tau_B &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 84{,}7 \, \mathrm{MPa}\end{split}\]

Zeigen Sie in einer Skizze die Richtungen, in die diese Schubspannungen wirken.

Lösung

Einsetzen der gegebenen Größen liefert:

\[\begin{split}\tau_A &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 23{,}9 \, \mathrm{MPa} \\ \tau_B &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 84{,}7 \, \mathrm{MPa}\end{split}\]

Richtung der Schubspannungen:

\[\begin{split}\tau_A &= \tau_{xsA} \\ \tau_B &= \tau_{xsB}\end{split}\]

Die roten Pfeile geben die Zählrichtung der vektorwertigen Schubspannungen an.
Die Schubspannungen werden positiv gezählt in dieselbe Richtung wie \(s\).
Bei A zeigt \(s\) nach links.
Bei B zeigt \(s\) nach oben, Details siehe Querkraft-Schub.
Bei A wirken \(-23{,}9 \, \mathrm{MPa}\) nach links, also \(+23{,}9 \, \mathrm{MPa}\) nach rechts.
Bei B wirken \(-84{,}7 \, \mathrm{MPa}\) nach oben, also \(+84{,}7 \, \mathrm{MPa}\) nach unten.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return
# ---

h, b = symbols("h, b")
ts, tg = symbols("ts, tg")
Q = symbols("Q")

sub_list = [
    ( h ,      190  *mm ),
    ( b ,      200  *mm ),
    ( ts, S(65)/10  *mm ),
    ( tg,       10  *mm ),
    ( Q,       100  *kN ),
    ]

pprint("\nIyySteg:")
Is = ts * h**3/12
pprint(Is)

pprint("\nIyyGurt:")
Ig = (h/2)*(h/2) * tg*b
pprint(Ig)

pprint("\nIyy:")
I = Is + 2 * Ig
printout(I, unit=1, prec="nil", sub_list=[])

pprint("\nIyy / cm⁴:")
printout(I, unit=cm**4, prec=1, sub_list=sub_list)

A1, A2 = b/2*tg, h/2*ts
z1, z2 = h/2, h/4

pprint("\nSyA, SyB:")
SA = z1 * A1
SB = 2*z1*A1 + z2*A2
pprint(SA)
pprint(SB)

pprint("\nτA / MPa:")
tauA = - SA * Q / I / tg
printout(tauA, unit=MPa, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\nτB / MPa:")
tauB = - SB * Q / I / ts
printout(tauB, unit=MPa, prec=1, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.