2.4.4.E

Gegeben

Größen:

\begin{align*} Q_z &= 100\, \mathrm{kN} \\ b &= 130 \, \mathrm{mm} \\ h &= 160 \, \mathrm{mm} \\ t &= 5 \, \mathrm{mm} \\ \\ B&=b+2t = 140\, \mathrm{mm}\\ H&=h+2t = 170\, \mathrm{mm} \end{align*}

Ein rechteckiges, geschlitztes Profil ist durch Querkraft \(Q_z\) beansprucht.
S ist der Schwerpunkt.

Berechnen Sie Schubspannungen bei A, B und C aufgrund Querkraft. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Flächenträgheitsmoment

Berechnen Sie das Flächenträgheitsmoment bezogen auf den Schwerpunkt S. Vernachlässigen Sie hierbei den Schlitz.

\[I_{yy} = \dots\]

Lösung

\[\begin{split}I_{yy} &= \tfrac{1}{12}\left(BH^3-bh^3\right) \\ &= 12945000 \, \mathrm{mm}^4\end{split}\]

b) Statische Momente

Berechnen Sie die Statischen Momente \(S_{yA}, S_{yB}, S_{yC}\) mit folgenden lila Flächen:

für \(S_{yA}\): Fläche oberhalb von A bis zum Schlitz.
für \(S_{yB}\): Fläche links von B bis zum Schlitz.
für \(S_{yC}\): Fläche unterhalb von C bis zum Schlitz.

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}S_{yA}&= 16000 \,\mathrm{mm}^3 \\ S_{yB}&= 73750 \,\mathrm{mm}^3 \\ S_{yC}&= 89750 \,\mathrm{mm}^3\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}A_1 &= \tfrac12 h t \\ A_2 &= B t \\ A_3 &= A_1 \\ (A_1, A_2, A_3) &= (400, 700, 400)\,\mathrm{mm}^2\end{split}\]

Die Statischen Momente der Flächen vom Rand bis A, bis B bzw. bis C sind:

\[\begin{split}S_{yA} &= \tfrac14 h A_1 \\ S_{yB} &= S_{yA} + \tfrac12 \left( h + t \right) A_2\\ S_{yC} &= S_{yB} + S_{yA}\\ (S_{yA}, S_{yB}, S_{yC}) &= (16000, 73750, 89750)\,\mathrm{mm}^3\end{split}\]

c) Schubspannungen

Berechnen Sie die Schubspannungen bei A, B und C in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) für die gegebenen Größen:

\[\tau = -\tfrac{S_y Q_z}{I_{yy} t}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\tau_A &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} -24{,}7 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2} \\ \tau_B &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} -113{,}9 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2} \\ \tau_C &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} -138{,}7 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2} \\\end{split}\]

Zeigen Sie in einer Skizze die Richtungen, in die diese Schubspannungen wirken.

Lösung

Einsetzen der Größen liefert die Behauptung.

Die roten Pfeile geben die Zählrichtung der vektorwertigen Schubspannungen an.
Die Schubspannungen werden positiv gezählt in dieselbe Richtung wie \(s\).
Bei A zeigt \(s\) nach unten.
Bei C zeigt \(s\) nach oben, Details siehe Querkraft-Schub.
Bei A wirken \(-24{,}7 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\) nach unten, also \(+24{,}7 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\) nach oben.
Bei C wirken \(-138{,}7 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\) nach oben, also \(+138{,}7 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\) nach unten.
Die aufintegrierten Schubspannungen ergeben die Querkraft \(Q_z\), hier \(Q_z = 100 \,\mathrm{kN}\) (nach unten positiv gezählt).
Überschlagsrechnung: Angenommen auf der gesamten Fläche \(A = Ht = 850\,\mathrm{mm}^2\) des Stegs rechts wirkt eine konstante Schubspannung in Höhe von \(\tau = 120 \,\tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\) nach unten. Dann würden diese Spannungen insgesamt eine Querkraft in Höhe von \(A \tau=850 \cdot 120 \,\mathrm{N} = 102 \,\mathrm{kN}\) nach unten erzeugen. Dies entspricht ungefähr der tatsächlichen Querkraft.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

# lengths / mm:
b = 130
h = 160
t = 5
B = b + 2*t
H = h + 2*t

# Q_z / N:
Q_z = 100000

pprint("\nIyy / mm⁴:")
Iyy = (B*H*H*H - b*h*h*h)/12
print(Iyy)

pprint("\n(A2, A2, A3) / mm²:")
A_1 = half*h*t
A_2 = B*t
A_3 = A_1
print(A_1, A_2, A_3)

pprint("\n(SyA, SyB, SyC) / mm³:")
SyA = h * A_1 / 4
SyB = SyA + half*(h + t) * A_2
SyC = SyB + SyA
print(SyA, SyB, SyC)


print("\n(τA, τB, τC) / ( N / mm³):")
for Sy in (SyA, SyB, SyC):
    tau = - Sy / Iyy / t * Q_z
    tmp = tau
    tmp = iso_round(tmp, 1)
    pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.