Tags: Video

2.4.4.F

Video

Gegeben

Symbole:

\[a, b, t, F\]

Größen:

\begin{align*} F&=1000 \, \mathrm{N} \\ a &= 3\,\mathrm{m} \\ b &= 2\,\mathrm{m} \\ t &= 1\,\mathrm{cm} \end{align*}

Berechnen Sie die Normal- und Schubspannung am markierten Querschnitt unmittelbar rechts vom Lager A. Gehen Sie wie folgt vor:

Lösung auf einer Seite

a) Schwerpunktposition

Zeigen Sie, dass:

\[\bar z_S=\tfrac 5 4 t\]

Lösung

b) Flächenträgheitsmoment

\(I_{yy} = I\) sei die \(yy\)-Komponente des Flächenträgheitstensors bezogen auf den Schwerpunkt S. Zeigen Sie, dass:

\[I_{yy} = I = \tfrac{37}{6} t^4\]

Lösung

c) Lagerreaktionen

Berechnen Sie die Lagerreaktionen.

Lösung

d) Schnittgrößen

Berechnen Sie die Schnittgrößen Querschnitt unmittelbar rechts vom Lager A. Zeigen Sie, dass für diesen Querschnitt gilt:

\[\begin{split}N &= -F \\ Q &= - \tfrac b a F \\ M &= b F \\\end{split}\]

Lösung

e) Normalspannung aufgrund Normalkraft

Berechnen Sie \(\sigma_N= \tfrac{N}{A}\), definiert als die Normalspannung aufgrund Normalkraft am Querschnitt unmittelbar rechts vom Lager A:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen , und zwar in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal) und gerundet auf \(0{,}1.\)

Lösung

Zählrichtung für Normalspannung

Genau wie die Normalkraft \(N\) als Zugkraft positiv definiert wird, wird auch die Normalspannung als Zugspannung positiv definiert. D.h.:

Wenn die Normalspannung für eine Teilchen positiv ist, dann ist das Teilchen in \(x\)-Richtung unter Zug. Und
Wenn die Normalspannung für eine Teilchen negativ ist, dann ist das Teilchen in \(x\)-Richtung unter Druck.

f) Normalspannung aufgrund Biegemoment

Berechnen Sie \(\sigma_M =\tfrac{M}{I} z\), definiert als die Normalspannung aufgrund Biegemoment am Querschnitt unmittelbar rechts vom Lager A:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen , und zwar in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal) und gerundet auf \(0{,}1.\)

Und zwar:

auf der Profil-Unterseite und
auf der Profil-Oberseite.

Lösung

g) Schubspannung aufgrund Querkraft

Berechnen Sie \(\tau = - \tfrac{Q}{I\,t} S\), definiert als die Schubspannung aufgrund Querkraft am Querschnitt unmittelbar rechts vom Lager A. Und war für die gegebenen Größen in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal) und gerundet auf \(0{,}1.\) Und zwar für \(z=\tfrac{7}{8} t\) und für \(z=0.\) Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\tau (z=\tfrac{7}{8} t) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}2\,\mathrm{MPa} \\ \tau (z=0) \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}7\,\mathrm{MPa}\end{split}\]

Lösung

Beispiel: Berechnung der Schubspannung unmittelbar rechts vom Lager A bei \(z=\tfrac 7 8 t:\)

Unmittelbar rechts vom Lager A bei \(x=0\) gilt:

\[Q = - \tfrac b a F\quad, \quad I = \tfrac{37}{6} t^4\]
Die Faser (türkis) ist bei \(z = \tfrac 7 8 t.\) Durch diese z-Position ist auch sie \(s\)-Position gegeben.
\(s\) (rot) zeigt vom Rand nach oben auf die Faser, sodass gilt \(s = \tfrac{7}{8} t.\)
Die z-Position des Flächenmittelpunkts ist \(\tfrac{21}{16} t.\) Und der Flächeninhalt der lila Fläche ist \(\tfrac 7 8 t \cdot t = \tfrac 7 8 t^2\).

\[\begin{split}S &= \tfrac{21}{16} t \cdot \tfrac 7 8 t^2 \\ &= \tfrac{147}{128} t^3\end{split}\]

Alternativ: Berechnung von S mit Integration:

\[\begin{split}S &= \int_{\tilde s=0}^{s} z(\tilde s) t(\tilde s) \, \mathsf{d}\tilde s \\ &= \int_{\tilde s=0}^{s} \left(\tfrac74 t - \tilde s\right) t \, \mathsf{d}\tilde s \\ &= \left[ \tfrac{7t^{2}}{4}\tilde s - \tfrac{t}{2}\tilde s^2 \right]^s_0 \\ &= \tfrac{7t^{2}}{4} s - \tfrac{t}{2} s^2\end{split}\]

liefert für \(s = \tfrac{7}{8} t\) dasselbe Ergebnis wie oben, nämlich:

\[\begin{split}S &= \tfrac{7t^{2}}{4} \tfrac{7}{8} t - \tfrac{t}{2} \tfrac{49}{64} t^2 \\ &= \left( \tfrac{49}{32} - \tfrac{49}{128} \right) t^3 \\ &= \tfrac{147}{128} t^3\end{split}\]
Einsetzen in die Formel liefert:

\[\begin{split}\tau &= - \tfrac{Q}{I\,t} S \\ &= - \tfrac{- \tfrac b a F}{\tfrac{37}{6} t^4 \,t} \tfrac{147}{128} t^3 \\ &= \tfrac{\tfrac b a F}{\tfrac{37}{6} t^2} \tfrac{147}{128} \\ &= \tfrac{6 b F}{37 a t^2} \tfrac{147}{128} \\ &= \tfrac{441}{2368} \tfrac{b F}{a t^2} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}2\,\mathrm{MPa}\end{split}\]

Lösung für z=0

\(s = \tfrac{7}{4} t.\)
Die z-Position des Flächenmittelpunkts ist \(z = \tfrac{7}{8} t.\) Der Flächeninhalt der lila Fläche ist \(\tfrac 7 4 t \cdot t = \tfrac 7 4 t^2\).

Einsetzen von \(s = \tfrac{7}{4} t\) liefert:

\[\begin{split}S &= \tfrac{7t^{2}}{4} \tfrac{7}{4} t - \tfrac{t}{2} \tfrac{49}{16} t^2 \\ &= \left( \tfrac{49}{16} - \tfrac{49}{32} \right) t^3 \\ &= \tfrac{49}{32} t^3\end{split}\]
Einsetzen in die Formel liefert für die gegebenen Größen:

\[\tau \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}7\,\mathrm{MPa}\]

h) Vergleichsspannung

Berechnen Sie die Mises-Vergleichsspannung \(\sigma_V\) , und zwar für die gegebenen Größen und in \(\mathrm{MPa}\) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\). Und zwar:

bei \(z=0\) und
bei \(z=\tfrac 7 4 t\).

Lösung

Es wirken bei \(z=0\) folgende Spannungen:
- Normalspannung aufgrund Normalkraft:
  
  \[\begin{split}\sigma_N = \sigma_{xx} &= -\tfrac 5 4 \, \mathrm{MPa}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 1{,}2\,\mathrm{MPa}\end{split}\]
- Normalspannung aufgrund Biegung:
  
  \[\sigma_M = 0\]
- Schubspannung aufgrund Querkraft
  
  \[\begin{split}\tau = - \tau_{xz} &= \tfrac{245}{148} \, \mathrm{MPa} \\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 1{,}7\,\mathrm{MPa}\end{split}\]
Spannungstensor-Komponenten:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \mathsf{sym} & & \sigma_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\tfrac 5 4 & 0 & - \tfrac{245}{148}\\ & 0 & 0 \\ \mathsf{sym} & & 0 \end{bmatrix} \mathrm{MPa}\end{split}\]

Tensor-Komponenten in \(\mathrm{MPa}\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ & T_{yy} & T_{yz} \\ \mathsf{sym} & & T_{zz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\tfrac 5 4 & 0 & -\tfrac{245}{148}\\ & 0 & 0 \\ \mathsf{sym} & & 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

Mises-Vergleichsspannung:

\[\begin{split}\sigma_V &= \tfrac{1}{\sqrt2} \sqrt{(\sigma_{xx} - \sigma_{yy})^2 + (\sigma_{yy} - \sigma_{zz})^2 + (\sigma_{zz} - \sigma_{xx})^2 + 6(\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{xz}^2)} \\\end{split}\]

Mises-Vergleichsspannung in \(\mathrm{MPa}\):

\[\begin{split}\tfrac{\sigma_V}{\mathrm{MPa}} &= \tfrac{1}{\sqrt2} \sqrt{(T_{xx} - T_{yy})^2 + (T_{yy} - T_{zz})^2 + (T_{zz} - T_{xx})^2 + 6(T_{xy}^2 + T_{yz}^2 + T_{xz}^2)} \\ &= \tfrac{1}{\sqrt2} \sqrt{ \left( \left(-\tfrac 5 4 \right) - 0\right)^2 + (0 - 0)^2 + \left(0 - \left(-\tfrac 5 4 \right) \right)^2 + 6\left(0^2 + 0^2 + \left(-\tfrac{245}{148}\right)^2\right) } \\ &= \tfrac{1}{\sqrt2} \sqrt{ \left(\tfrac 5 4 \right)^2 + \left(\tfrac 5 4 \right)^2 + 6\left(\tfrac{245}{148}\right)^2 } \\ &= \tfrac{5 \sqrt{2143}}{74}\\\end{split}\]

Also:

\[\sigma_V \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 3{,}1\,\mathrm{MPa}\]
Es wirken bei \(z=\tfrac 7 4 t\) folgende Spannungen:
- Normalspannung aufgrund Normalkraft:
  
  \[\begin{split}\sigma_N = &= -\tfrac 5 4 \, \mathrm{MPa}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 1{,}2\,\mathrm{MPa}\end{split}\]
- Normalspannung aufgrund Biegung:
  
  \[\begin{split}\sigma_M &= \tfrac{21000}{37} \, \mathrm{MPa}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 567{,}6\,\mathrm{MPa}\end{split}\]
- Schubspannung aufgrund Querkraft
  
  \[\tau = 0\]
Dies führt auf:

\[\sigma_V \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 566{,}3\,\mathrm{MPa}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify
from sympy import integrate, shape, eye, sympify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

one, two, three, four = S(1), S(2), S(3), S(4)

F = symbols("F")
a, b = symbols("a, b")
t = symbols("t")

sub_list=[
    ( F, 1000 *N  ),
    ( a,    3 *m  ),
    ( b,    2 *m  ),
    ( t,    1 *cm ),
    ]

pprint("\nzS:")
(A1, A2, A3) = (2*t*t, 2*t*t, 4*t*t)
(z1, z2, z3) = (2*t, 2*t, t/2)
zS = z1*A1 + z2*A2 + z3*A3
A = A1 + A2 + A3
zS /= A
pprint(zS)

pprint("\nI:")
I1 = t * (2*t)**3 / 12
I2 = I1
I3 = 4*t * t**3 / 12

# Steiner:
I =  I1 + (z1-zS)**2*A1
I += I2 + (z2-zS)**2*A2
I += I3 + (z3-zS)**2*A3
pprint(I)

M = b*F
N = -F

pprint("\nσɴ:")
sig_N =  N / A
pprint(sig_N)
pprint("\nσɴ / MPa:")
tmp = sig_N.subs(sub_list)
tmp /= MPa
sig_N_MPa = tmp
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

z = symbols("z")
pprint("\nσᴍ(z):")
sig_M = M/I * z
pprint(sig_M)

pprint("\nσᴍ(7/4 t):")
tmp = sig_M.subs(z, 7*t/4)
pprint(tmp)
pprint("\nσᴍ(7/4 t) / MPa:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= MPa
sig_M_z74t_MPa = tmp
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nσᴍ(-5/4 t):")
tmp = sig_M.subs(z, -5*t/4)
pprint(tmp)
pprint("\nσᴍ(-5/4 t) / MPa:")
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

Q = - b/a * F

pprint("\nS(z = 7/8 t):")
z, A = 21*t/16, 7*t/8 * t
S = z*A
pprint(S)

pprint("\nτ(z = 7/8 t) / MPa:")
tau = - Q*S/I/t
tmp = tau.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nS(z = 0):")
z, A = 7*t/8 , 7*t/4 * t
S = z*A
pprint(S)

pprint("\nτ(z=0) / MPa:")
tau = - Q*S/I/t
tmp = tau.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tau_MPa_z0 = tmp
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nS and τ as functions:")
s = symbols("s")
z = 7*t/4 - s
i = z*t
S = integrate(i, (s, 0, s))
pprint("\nS(s):")
pprint(S)
pprint("\nS(s = 0):")
tmp = S.subs(s, 0)
pprint(tmp)
pprint("\nS(s = 7/8 t):")
tmp = S.subs(s, 7*t/8)
pprint(tmp)
pprint("\nS(s = 7/4 t):")
tmp = S.subs(s, 7*t/4)
pprint(tmp)
pprint("\nS(s = 0):")
tmp = S.subs(s, 0)
pprint(tmp)

pprint("\nτ(s):")
tau = - Q*S/I/t
pprint(tau)

# pprint("\nPlotting S and τ:")
# from sympy.plotting import plot
# # ξ = s/cm
# xi = symbols("xi")

# Q = Q.subs(sub_list)
# I = I.subs(sub_list)

# pprint("\nS(ξ):")
# S = S.subs(sub_list)
# S /= cm**3
# S = S.subs(s, xi*cm)
# S = S.simplify()
# pprint(S)

# pprint("\nτ(ξ):")
# tau = tau.subs(sub_list)
# tau /= MPa
# tau = tau.subs(s, xi*cm)
# tau = tau.simplify()
# pprint(tau)

# p = plot(S, (xi, 0, 2), line_color=(0.75,0,0.75), label = "$S(s) \, / \, cm^3$", show=False)
# q = plot(tau, (xi, 0, 2), line_color="red", label = "$\\tau(s)\, / \, MPa$", show=False)
# p.extend(q)
# p.xlabel="$s \\, / \\, \\mathrm{cm}$"
# p.ylabel=None
# p.legend = True
# # p.save("tmp.svg")
# # p.show()

def get_3d(T):
    T = T.row_insert(2,Matrix([[0,0]]))
    T = T.col_insert(2,Matrix([[0],[0],[0]]))
    return T

def get_Mises(T):
    """
    https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mises_yield_criterion
    """
    if shape(T)==(2,2):
        T = get_3d(T)
    assert shape(T) == (3,3)
    # From Deviator:
    tr = T.trace()
    id = eye(3)
    Tdev = T - tr/3*id
    tmp = Tdev.norm()
    tmp *= sqrt(sympify(3)/2)
    # From Components:
    # Txx, Txy, Txz = T[0,0], T[0,1], T[0,2]
    # Tyy, Tyz = T[1,1], T[1,2]
    # Tzz = T[2,2]
    # t1, t2, t3 = (Txx - Tyy)**2, (Tyy - Tzz)**2, (Tzz - Txx)**2
    # t4 = 6*(Txy**2 + Tyz**2 + Txz**2)
    # tmp = sqrt(t1 + t2 + t3 + t4)
    # tmp /= sqrt(2)
    return tmp

pprint("\nMises:")

pprint("\n1. z = 0:")

pprint("\nσɴ / MPa:")
pprint(sig_N_MPa)
tmp = sig_N_MPa
# tmp = iso_round(tmp, 1)
# pprint(tmp)

pprint("\nτ / MPa:")
pprint(tau_MPa_z0)
tmp = tau_MPa_z0
# tmp = iso_round(tmp, 1)
# pprint(tmp)

# Init:
(Txx, Txy, Txz, Tyy, Tyz, Tzz) = (0,0,0,0,0,0)

Txx = sig_N_MPa
Txz = - tau_MPa_z0

pprint("\nT / MPa:")
T = Matrix([
    [Txx, Txy, Txz],
    [Txy ,Tyy, Tyz],
    [Txz ,Tyz, Tzz],
    ])
pprint(T)

pprint("\nMises Stress / MPa:")
tmp = get_Mises(T)
pprint(tmp)
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\n2. z = 7/4 t:")

pprint("\nσɴ / MPa:")
tmp = sig_N_MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nσᴍ / MPa:")
tmp = sig_M_z74t_MPa
pprint(tmp)
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nτ / MPa = 0.")

(Txx, Txy, Txz, Tyy, Tyz, Tzz) = (0,0,0,0,0,0)

Txx = sig_N_MPa + sig_M_z74t_MPa

pprint("\nT / MPa:")
T = Matrix([
    [Txx, Txy, Txz],
    [Txy ,Tyy, Tyz],
    [Txz ,Tyz, Tzz],
    ])
pprint(T)

pprint("\nMises Stress / MPa:")
tmp = get_Mises(T)
pprint(tmp)
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)


# pprint("\nEnde:")
# tmp = 6*sympify(147)/37/128 * b*F/a/t**2
# tmp = tmp.subs(sub_list)
# tmp /= MPa
# pprint(tmp)
# tmp = iso_round(tmp, 1)
# pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.