2.4.4.G

Gegeben

Symbole:

\[b, h, \, t_g, t_s, \, Q_z\]

Größen:

\[\begin{split}b &= 45\,\mathrm{mm}\\ h &= 80\,\mathrm{mm} \\ t_g &= 8\,\mathrm{mm} \\ t_s &= 6\,\mathrm{mm} \\ Q_z &= 53 \,\mathrm{kN}\end{split}\]

Profil ist durch Querkraft \(Q_z\) (Schnittkraft in \(z\)-Richtung) beansprucht.

Berechnen Sie die Schubspannungen aufgrund Querkraft bei A und B. Gehen Sie wie folgt vor:

a) Flächenträgheitsmoment für Größen

Zeigen Sie, dass:

\[I_{yy} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 106{,}8\, \mathrm{cm}^4\]

Lösung

Berechnung wie üblich führt auf:

\[I_{yy} = \tfrac{66752}{625}\, \mathrm{cm}^4\]

Rundung liefert die Behauptung.

b) Statische Momente für Symbole

Sei:

\(S_{yA}\): Statisches Moment der Teilfläche rechts von A und
\(S_{yB}\): Statisches Moment der Teilfläche unterhalb und rechts von B.

Für die gegebenen Symbole: Berechnen Sie:

\[\begin{split}S_{yA} &= \dots \\ S_{yB} &= \dots\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}A_1 &= t_{g} \left(b - t_{s}\right) \\ z_1 &= \tfrac{h}{2} - \tfrac{t_{g}}{2} \\ A_2 &= \tfrac{h}{2} t_{s} \\ z_2 &= \tfrac{h}{4}\end{split}\]

Statische Momente:

\[\begin{split}S_{yA} &= z_1 A_1 \\ &= \tfrac{t_{g}}{2} \left(b - t_{s}\right) \left(h - t_{g}\right) \\ S_{yB} &= \overbrace{z_1 A_1}^{S_{yA}} + z_2 A_2 \\ &= \tfrac{t_{g}}{2} \left(b - t_{s}\right) \left(h - t_{g}\right) + \tfrac{t_{s}}{8} h^{2}\end{split}\]

c) Statische Momente für Größen

Berechnen Sie diese Statischen Momente in \(\mathrm{cm}^3\) (Kubikzentimeter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\) für die gegebenen Größen. Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}S_{yA} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 11{,}2\, \mathrm{cm}^3 \\ S_{yB} &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 16{,}0\, \mathrm{cm}^3\end{split}\]

Lösung

Einsetzen liefert die Behauptung.

d) Schubspannung

Für diese Größen: Berechnen Sie die Schubspannungen bei A und B mit:

\[\begin{split}\tau_A &= - \tfrac{S_{yA} Q_z}{I_{yy} t_g} \\ \tau_B &= - \tfrac{S_{yB} Q_z}{I_{yy} t_s}\end{split}\]

Zeigen Sie, dass:

\[\begin{split}\tau_A &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 69{,}7\,\mathrm{MPa} \\ \tau_B &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 132{,}6 \,\mathrm{MPa}\end{split}\]

Lösung

\[\begin{split}\tau_A &= - \tfrac{S_{yA} Q_z}{I_{yy} t_g}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 69{,}7\,\mathrm{MPa} \\ \tau_B &= - \tfrac{S_{yB} Q_z}{I_{yy} t_s}\\ &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} - 132{,}6 \,\mathrm{MPa}\end{split}\]

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# Printing:
def printout(x, unit=1, prec="nil", sub_list=[]):
    x = x.subs(sub_list)
    x /= unit
    try: 
        x = x.applyfunc(simplify)
    except:
        tmp = x.simplify()
        if tmp != None:
            x = tmp
    if prec != "nil":
        x = iso_round(x, prec)
    pprint(x)
    return

# ---

b, h = symbols("b, h")
tg, ts = symbols("t_g, t_s")
Q = symbols("Q")

sub_list=[
    ( b,   45  *mm    ),
    ( h,   80  *mm    ),
    ( tg,   8  *mm    ),
    ( ts,   6  *mm    ),
    ( Q,   53  *kN    ),
    ]

pprint("\nIyy / cm⁴:")
Is = ts *h**3/12
Ig = (b-ts)*tg**3/12 + ((h - tg)/2)**2*(b-ts)*tg
Iyy = Is + 2*Ig
printout(Iyy, unit=cm**4, prec="nil", sub_list=sub_list)
printout(Iyy, unit=cm**4, prec=1, sub_list=sub_list)

A1 = tg *(b-ts)
A2 = ts * h/2

z1 = h/2 - tg/2
z2 = h/4

pprint("\n(SA, SB) / cm³:")
SA = z1 * A1
SB = z1*A1 + z2*A2
printout(SA, unit=cm**3, prec=1, sub_list=sub_list)
printout(SB, unit=cm**3, prec=1, sub_list=sub_list)

pprint("\n(τ_A, τ_B) / MPa:")
tauA = - SA * Q / Iyy / tg
tauB = - SB * Q / Iyy / ts
printout(tauA, unit=MPa, prec=1, sub_list=sub_list)
printout(tauB, unit=MPa, prec=1, sub_list=sub_list)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.