2.4.4.H

Gegeben

Symbole:

\[a, b, q\]

Größen:

\[\begin{split}a &= 1\,\mathrm{m}\\ b &= 3\,\mathrm{mm}\\ q &= 1000 \, \tfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{split}\]

a) Schwerpunkt-Position

Berechnen Sie \(\bar z_S\), die \(\bar{z}\)-Koordinate des Schwerpunkts S. Zeigen Sie, dass:

\[\bar z_S = 2 b\]

Lösung

	\(\bar{z}\)	\(A\)	\(\bar{z} A\)
\(1\)	\(3b\)	\(6 b^2\)	\(18 b^3\)
\(2\)	\(\tfrac12 b\)	\(4 b^2\)	\(2 b^3\)
\(\sum\)		\(10 b^2\)	\(20 b^3\)

\(\bar z\)-Position von S:

\[\begin{split}\bar z_S &= \tfrac{20 b^3}{10 b^2}\\ &= 2 b\end{split}\]

b) Flächenträgheitsmoment

Zeigen Sie, dass das Flächenträgheitsmoment \(I_{yy}\) bezüglich S ist:

für die gegebenen Symbole:

\[I_{yy}= \tfrac{100}{3} b^{4}\]
für die gegebenen Größen:

\[I_{yy}= 0{,}27\,\mathrm{cm}^4\]

Lösung

für die gegebenen Symbole:

	\(I_{yy}\)	\(d_z\)	\(A\)	\(d_z^2 A\)
1	\(\tfrac{1}{12}b (6b)^3\)	\(b\)	\(6b^2\)	\(6b^4\)
2	\(\tfrac{1}{12}4b b^3\)	\(- \tfrac 3 2 b\)	\(4 b^2\)	\(9 b^4\)
\(\sum\)	\(\tfrac{55}{3}b^4\)			\(15 b^4\)

\[\begin{split}I_{yy} &= \tfrac{55}{3}b^4 + 15 b^4 \\ &= \tfrac{100}{3} b^{4}\end{split}\]

für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}I_{yy} &= \tfrac{100}{3} 3^{4} \,\mathrm{mm}^4 \\ &= 0{,}27\,\mathrm{cm}^4\end{split}\]

c) Maximales Moment

Berechnen Sie das maximale Biegemoment \(M_{\mathsf{max}}\) in der Mitte zwischen den Lagern. Zeigen Sie, dass:

für die gegebenen Symbole:

\[M_{\mathsf{max}} = \tfrac{1}{24}qa^2\]
für die gegebenen Größen in \(\mathrm{Nm}\) (Newtonmeter) und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\):

\[M_{\mathsf{max}} \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 41{,}7 \,\mathrm{Nm}\]

Lösung

Moment ist extremal in der Mitte zwischen den Auflagern. Dort ist:

für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}M_{\mathsf{max}} &= \tfrac12 a q \left(\tfrac13 a - \tfrac14 a\right) \\ &= \tfrac{1}{24} a^{2} q\end{split}\]
für die gegebenen Größen und gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\):

\[\begin{split}M_{\mathsf{max}} &= \tfrac{1}{24} 1 \mathrm{m}^2 1000 \tfrac{\mathrm N}{\mathrm m} \\ &= \dots \\ & \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 41{,}7 \,\mathrm{Nm}\end{split}\]

d) Normalspannung

An der Stelle des maximalen Biegemoments: Berechnen Sie die Normalspannung \(\sigma_o\) auf der Oberseite und die Normalspannung \(\sigma_u\) und der Unterseite des Balkens:

für die gegebenen Symbole und
für die gegebenen Größen in \(\mathrm{MPa}\) (Megapascal) gerundet auf Rundestellenwert \(0{,}1\):

\[\sigma_o \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \dots \qquad \sigma_u \stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} \dots\]

Lösung

\(z\)-Positionen von Ober- bzw. Unterseite:

\[\begin{split}z_o &= - 2 b \\ z_u &= 4 b\end{split}\]

Normalspannungen:

\[\begin{split}\sigma_o &= \tfrac{M_{\mathsf{max}}}{I_{yy}} z_o \\ \sigma_u &= \tfrac{M_{\mathsf{max}}}{I_{yy}} z_u\end{split}\]

Einsetzen der vorab berechneten Werte liefert:

für die gegebenen Symbole:

\[\begin{split}\sigma_o &= - \tfrac{1}{400} \tfrac{a^{2} q}{ b^{3}} \\ \sigma_u &= \tfrac{1}{200} \tfrac{a^{2} q}{ b^{3}}\end{split}\]
für die gegebenen Größen:

\[\begin{split}\sigma_o &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} -92{,}6 \,\mathrm{MPa} \\ \sigma_u &\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx} 185{,}2 \,\mathrm{MPa}\end{split}\]

Für positives \(q\): Druckspannung auf der Oberseite, Zugspannung auf der Unterseite.

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

a, b, q = symbols("a, b, q")

sub_list = [
    ( a,    1 *m    ),
    ( b,    3 *mm   ),
    ( q, 1000 *N/m  ),
    ]

(z1, A1) = (3*b, 6*b*b)
(z2, A2) = (b/2, 4*b*b)

pprint("\nzS:")
zS = (z1*A1 + z2*A2)/(A1 + A2)
pprint(zS)

pprint("\nIyy / cm⁴:")
Iy1 = b   *  (6*b)**3 / 12
Iy2 = 4*b *  b**3 / 12

z1 = b
z2 = 3*b/2

S1 = z1*z1*A1
S2 = z2*z2*A2
Iy = Iy1 + Iy2 + S1 + S2
tmp = Iy
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= cm**4
pprint(tmp)

pprint("\nM / Nm:")
M = q*a/2 * (a/3 - a/4)
tmp = M
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= N*m
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nσ_o / MPa:")
(zo, zu) = (-zS, 4*b)
(sig_o, sig_u) = (M/Iy*zo, M/Iy*zu)
tmp = sig_o
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nσ_u / MPa:")
tmp = sig_u
tmp = tmp.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

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Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
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