2.4.4.I

Gegeben

Symbole:

\[a, F, b, t, h, H\]

Größen:

\[\begin{split}a&=1\,\mathrm{m}\\ F&=200\,\mathrm{kN}\\ b&=200\,\mathrm{mm}\\ t&=10\,\mathrm{mm}\\ h&=240\,\mathrm{mm}\\ H&=300\,\mathrm{mm}`\end{split}\]

Lösung auf einer Seite

a) Schnittgrößen

Zeigen Sie, dass:

für das maximales Biegemoment \(M\) gilt: \(M = \tfrac 4 5 Fa.\)
für die maximale Querkraft \(Q\) gilt: \(Q = \tfrac 4 5 F.\)

b) Normalspannung und Schubspannung

Zeigen Sie, dass:

für die maximale Normalspannung \(\sigma\) gilt: \(\sigma\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}103{,}8\,\mathrm{MPa}.\)
für die maximale Schubspannung \(\tau\) gilt: \(\tau\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}61{,}1\,\mathrm{MPa}.\)

c) Vergleichsspannung

Berechnen Sie die Mises-Vergleichsspannung \(\sigma_V\) bei A, B und C. Zeigen Sie, dass:

bei A: \(\sigma_V\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}103{,}8\,\mathrm{MPa}.\)
bei B: \(\sigma_V\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}127{,}8\,\mathrm{MPa}.\)
bei C: \(\sigma_V\stackrel{\scriptscriptstyle{0{,}1}}{\approx}105{,}8\,\mathrm{MPa}.\)

SymPy

Source Code eines Programms dazu:

from sympy.physics.units import kg, m, s
from sympy import pi, S, pprint, symbols, cos, sin, Matrix, Eq, solve, sqrt, exp, simplify

# Units:
N         =  kg*m/s**2
k, M, G   =  10**3, 10**6, 10**9
kN        =  k*N
Pa        =  N/m**2
MPa, GPa  =  M*Pa, G*Pa
deg       =  pi/180
half      =  S(1)/2
cm        =  m/100
mm        =  m/1000

# Rounding:
def iso_round(x, pv):
    try:
        x = float(x)
        tmp = round(x, pv)
    except TypeError:
        x = x.evalf()
        from functools import partial
        func = partial(round, ndigits = pv)
        tmp = x.applyfunc(func)
    return tmp

# ---

prec = 2

a, F, b, t, h, H = symbols("a, F, b, t, h, H")

sub_list = [
    ( a,    1 *m   ),
    ( F,  200 *kN  ),
    ( b,  200 *mm  ),
    ( t,   10 *mm  ),
    ( h,  240 *mm  ),
    ( H,  300 *mm  ),
    ]

M = 4*F*a/5
Q = 4*F/5

pprint("\nIyy / cm⁴:")
I = b*H**3/12 - (b-t)*h**3/12
tmp = I.subs(sub_list)
tmp /= cm**4
pprint(tmp)

pprint("\nσ / MPa:")
s = M/I * H/2
tmp = s.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

print("\nτ / MPa:")
SB = - 135 * 200*30*mm**3
SC = SB - 60 * 10*120*mm**3
tC = - Q*SC / (I*t)
tmp = tC.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

pprint("\nσV / MPa:")

print("\nA:")
Mises = sqrt(s**2)
tmp = Mises.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

print("\nB:")
s = M/I * h/2
tB = - Q*SB / (I*t)
Mises = sqrt(s**2 + 3 * tB**2)
tmp = Mises.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

print("\nC:")
Mises = sqrt(3*tC**2)
tmp = Mises.subs(sub_list)
tmp /= MPa
tmp = iso_round(tmp, 1)
pprint(tmp)

Programm ausführen? Dazu:

Copy: Source Code in die Zwischenablage kopieren.
Paste: Source Code ins Eingabefeld hinter [ ]: einfügen.
Play: Knopf ▶ drücken.